Курсовая работа: Иррациональные уравнения

, если и не имеет решения, если .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части исходного уравнения в куб.

; .

О т в е т: {-5}.

Запишем равносильность, с помощью которой решаются уравнения данного вида: .

2.2 Уравнения вида

Довольно часто при решении уравнений данного вида учащиеся используют следующую формулировку свойства произведения «Произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю». Заметим, что формулировку свойства произведения должна выглядеть следующим образом: « произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл».

Запишем равносильность, с помощью которой решаются уравнения данного вида:

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

.

О т в е т: {-2;6}.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. В данном случае уравнение не имеет вида, указанного в заголовке. Следовательно, его необходимо преобразовать. Но сначала найдем ОДЗ переменной .

ОДЗ:

Преобразуем уравнение к виду

При решении уравнения учащиеся часто необоснованно делят обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное (в данном случае, на ), что приводит к потере корня и приобретению «постороннего». Подобные уравнения, содержащие в обеих частях общий множитель, следует решать переносом всех членов в одну часть и разложением полученного выражения на множители.

Решим каждое уравнение из совокупности.

; .

(1).

Учитывая, что ОДЗ: получаем, что уравнение (1) равносильно совокупности:

. Тогда , не удовлетворяет условию

, данное уравнение не имеет корней.

Следовательно, совокупность примет следующий вид:

Вернемся к системе: