Курсовая работа: Исследование кривых и поверхностей второго порядка

(точка),

4) — гипербола,

5) — две пересекающиеся прямые,

6) — парабола,

7) — две параллельные прямые,

8) — две мнимые параллельные прямые,

9) — две совпадающие прямые.

В этих уравнениях a ,b ,p — положительные параметры.

Систему координат XO¢Y назовем канонической системой координат, а систему координат xOy — общей системой координат.

Классификация кривых второго порядка

В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка:

· если кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.

· если кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.

· если кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.

Кривая второго порядка Г называется центральной , если . Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми .

Центром кривой второго порядка Г называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой кривой расположены симметрично парами. Точка является центром кривой второго порядка, определяемой уравнением (1.1), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:

(2.1)

(2.1)

Определитель этой системы равен . Если , то система имеет единственное решение. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:

, . (2.2)

Из теорем 1 и 2 получается следующая классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов:

1) эллипс

2) мнимый эллипс

3) две мнимые пересекающиеся прямые (точка)

4) гипербола

5) две пересекающиеся прямые (2.3)

6) парабола

7) две параллельные прямые

8) две мнимые параллельные прямые