Курсовая работа: Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп
то
и - квазинормальные в
подгруппы. Следовательно,
- слабо нормальная в
подгруппа.
Утверждение (2) очевидно.
(3) Пусть - слабо нормальная подгруппа в группе
и
- квазинормальная в
подгруппа такая, что
и
. Ясно, что
и
Значит, слабо нормальна в
и ввиду (1),
- слабо нормальная в
подгруппа.
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.
Группа разрешима тогда и только тогда, когда
, где
,
- подгруппы группы
такие, что каждая максимальная подгруппа из
и каждая максимальная подгруппа из
слабо нормальны в
.
Пусть - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1) - разрешима;
(2) , где
,
- подгруппы группы
такие, что каждая максимальная подгруппа из
и каждая максимальная подгруппа из
слабо квазинормальны в
;
(3) , где
,
- подгруппы группы
такие, что каждая максимальная подгруппа из
и каждая максимальная подгруппа из
слабо нормальны в
.
Группа метанильпотентна тогда и только тогда, когда
, где подгруппа
-квазинормальна в
,
- нильпотентна и каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в
.
Доказательство. Допустим, что , где
-
-квазинормальна в
,
- нильпотентна и каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в
. Покажем, что группа
метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть
- контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.
(1) не является нильпотентной группой .
Предположим, что нильпотентна. Так как ввиду леммы (3),
субнормальна, то
содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе
из
по лемме (2). Тогда
нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы
доказывает (1).
(2) .
Допустим, что . Тогда ввиду леммы ,
нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).
(3) Если - абелева минимальная нормальная подгруппа группы
, содержащаяся в
, то
метанильпотентна .
Пусть -
-группа и
- силовская
-подгруппа в
. Тогда
и поэтому по лемме каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в
. Поскольку по лемме ,
-квазинормальна в
,
то условия теоремы справедливы для . Так как
, то ввиду выбора группы
,
метанильпотентна.
(4) Условия теоремы справедливы для (это проямо следует из леммы ).
(5) разрешима .