Курсовая работа: курсовые

.Все вышеперечисленные условия выполняются, следовательно можно использовать формулу (1.2).

.

Получили формулу:

. ().

Пример 2.Получим асимптотическое разложение гамма-функции Эйлера

Метод Лапласа непосредственно неприменим к этому интегралу, так как функция не имеет максимума на данном интервале.

Представим подинтегральную функцию в виде

и сделаем замену переменной, положив .Тогда имеем:

.

Наш интеграл примет вид:

.

Это интеграл Лапласа: здесь и .Функция достигает максимума при , причем Поэтому по формуле (1.2) получаем

Получили формулу:

Из этой формулы непосредственно следует формула Стирлинга

так как для любого натурального .

Пусть теперь совпадает с одним из концов отрезка, например ,и пусть для простоты .Заменяя интегралом по отрезку и заменяя приближенно на этом отрезке функции

, получаем,что

Заметим,что .Вычисляя последний интеграл,получаем

, () (1.3)

Пример 3.Вычислим интеграл

Здесь функция на отрезке [0,2] имеет максимум в точке ; также

Следовательно, можно применить формулу (1.3):