Курсовая работа: курсовые

Получили формулу:

По существу эти две формулы являются основными асимптотическими формулами для интегралов Лапласа.Нам удалось получить простые асимптотические формулы по двум следующим причинам:

1).Подытегральная функция имеет при больших резкий максимум (т.е. интеграл по отрезку I можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума).

2).В окрестности точки максимума подынтегральную функцию можно заменить более простой (например,такой,что интеграл от нее берется или его асимптотика легко вычисляется).

2.Простейшие оценки Лемма 1.1. Пусть

и при некотором интеграл (1.1) сходится абсолютно:

.

Тогда имеет место оценка

.

3.Лемма Ватсона

Рассмотрим интеграл Лапласа,в котором S-степенная функция

(1.4)

где .Так как в окрестности точки максимума S(x) можно приближенно заменить степенной функцией (вообще говоря),то вычисление асимптотики интегралов Лапласа (1.1) сводится к вычислению асимптотики эталонных интегралов (1.4).

Получим асимптотические оценки для при . Лемма 1.2 (Ватсона).Пусть .Тогда при справедливо асимптотическое разложение

(1.5)

Главный член асимптотики имеет вид

(1.5´)

Пример 4.Вычислим интеграл

()

Здесь , функция непрерывна на [0,] .Применим формулу (1.5´):

Получили формулу:

()

4.Вклад от граничной точки максимума (основной случай)

Рассмотрим интеграл Лапласа (см.(1.1)).

Теорема 1.1. Пусть - конечный отрезок и выполнены условия:

1º. достигается только в точке .