Курсовая работа: курсовые

Многочисленные задачи математики, математической физики,механики,техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида

при больших значениях параметра .

Можно по пальцам пересчитать те случаи,когда такие интегралы явно вычисляются.

С другой стороны,при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современным ЭВМ.Единственное,что остается – это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.

Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты,что сомневаться в применении именно этих методов не приходится.

1.Основные формулы

Интегралами Лапласа называются интегралы вида

, (1.1)

где -вещественнозначная функция,-большой положительный параметр.Функция

может принимать комплексные значения.Будем считать для простоты,что конечный отрезок и что -достаточно гладкие при функции.Тривиальный

случай не рассматривается.

рис.1

Пусть и достигается только в точке .Тогда функция имеет максимум в точке ,который тем резче,чем больше (рис.1).Интеграл можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума , и это приближение будет тем точнее,чем больше .В этой окрестности функции можно приближенно заменить по формуле Тейлора,и мы получим интеграл,асимптотика которого легко вычисляется.Этот метод был предложен Лапласом.

Пусть .Тогда ;пусть для простоты .Тогда

,

где - малое фиксированное число,и

, .

Следовательно,

.

Заметим,что .Последний интеграл равен

(),

так как

.

Итак,мы получили асимптотическую формулу

(). (1.2)

Пример 1.Вычислим интеграл

. ().

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--