Курсовая работа: Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений в виде Ax=b (2.2.1).

Пусть (2.2.1.) приведена каким-либо образом к виду x=Cx+f (2.2.2), где C - некоторая матрица, f - вектор-столбец. Исходя из произвольного вектора

x⁰ ₁

x^{( 0 )} = x⁰ ₂

x⁰ ₃

строим итерационный процесс x^{( k +1 )} =Cx^{( k )} +f(k=0,1,2,3,…) или в развернутой форме

x₁ ^{( k+1 )} = c₁₁ x₁ ^{( k )} + c₁₂ x₂ ^{( k )} + …+ c_1n x_n ^{( k )} + f₁ ,(2.2.3)

x_n ^{( k+1 )} = c_n1 x₁ ^{( k )} + c_n2 x₂ ^{( k )} + …+ _1nn x_n ^{( k )} + f_{n .}

Производя итерации, получим последовательность векторов x^{( 1 )} , x^{( 2)} ,…, x^{( k )} ,… Доказано, что если элементы матрицы C удовлетворяют одному из условий

(i=1,2,…,n) (2.2.4)

(j=1,2,…,n) (2.2.5),

то процесс итерации сходится к точному решению системы x при любом начальном векторе x⁽⁰⁾ , то есть

x=x^{( k )} .

Таким образом, точное решение системы получается лишь в результате бесконечного процесса, и всякий вектор x^{( k )} из полученной последовательности является приближенным решением. Оценка погрешности этого приближенного решения x^{( k )} дается одной из следующих формул:

| x_i - x_i ^{( k )} | | x_i ^{( k )} - x_i ^{( k -1 )} |, (2.2.4')

если выполнено условие (2.2.4), или

| x_i - x_i ^{( k )} | | x_i ^{( k )} - x_i ^{( k -1 )} |, (2.2.5')

если выполнено условие (2.2.5). Эти оценки можно еще усилить соответственно так:

max | x_i - x_i ^{( k )} | | x_i ^{( k )} - x_i ^{( k -1 )} |, (2.2.4'')

или

| x_i - x_i ^{( k )} | | x_i ^{( k )} - x_i ^{( k -1 )} |. (2.2.5'')

Процесс итераций заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданной точности.

Начальный вектор x^{( 0 )} может быть выбран, вообще говоря, произвольно. Иногда берут x^{( 0 )} =f. Однако, наиболее целесообразно в качестве компонент вектора x^{( 0 )} взять приближенные значения неизвестных, полученные грубой прикидкой.

Приведение системы (2.2.1) к виду (2.2.2) можно осуществить различными способами. Важно только, чтобы выполнялось одно из условий (2.2.4) или (2.2.5). Ограничимся рассмотрением двух таких способов.

Первый способ. Если диагональные элементы матрицы А отличны от нуля, то есть

a_ii 0 ( i=1,2,…,n),

то систему (2.2.1) можно записать в виде

x₁ = (b₁ - a₁₂ x₂ - … - a_1n x_n ),

x₂ = (b₂ - a₂₁ x₁ - a₂₃ x₃ -… - a_2n x_n ),(2.2.6)