Курсовая работа: Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений

-0,41x₁ + 1,13x₂ - 0,15x₃ =1,555 (4.1)

-0,25x₁ - 0,14x₂ + 1,21x₃ =2,780

Точное решение: x₁ =2,0 ; x₂ =2,5 ; x₃ =3,0 .

В качестве начального приближения x^{( 0 )} возьмем два вектора: x^{( 0)} =(1000,1000,1000); x^{( 0 )} =(1,1,1).

Система2

0,22x₁ + 0,02x₂ + 0,12x₃ + 0,13x₄ = -3

0,02x₁ + 0,14x₂ + 0,04x₃ - 0,06x₄ = 14

0,12x₁ + 0,04x₂ + 0,28x₃ + 0,08x₄ = 250 (4.2)

0,14x₁ - 0,06x₂ + 0,08x₃ + 0,26x₄ = -77

Точного решения нет.

В качестве начального приближения x^{( 0 )} возьмем два вектора: x^{( 0)} =(0,10,20,30); x^{( 0 )} =(-270,-503,1260,-653 ).

Все вычисления будем проводить при заданной точности =0.001 .

5. Анализ результатов счета , выводы

Результаты вычислений тестовых систем линейных алгебраических уравнений представлены в виде файлов-отчетов, которые приведены в Приложении2, а также в виде графиков итерационных процессов и графиков зависимостей погрешностей решений исходных систем линейных алгебраических уравнений от шага итерации, которые приведены в Приложении3.

Анализируя эти результаты, можно сделать следующие выводы.

Во-первых, количество итераций сильно зависит от матрицы А исходной системы уравнений вида Ax=b. Чем ближе диагональные элементы матрицы А к нулю, тем больше итераций требуется для того, чтобы решить исходную систему линейных алгебраических уравнений.

Во-вторых, на количество шагов влияет начальное приближение. Чем оно ближе к точному решению, тем меньше требуется шагов для сходимости метода. Следует отметить, что в рассматриваемых примерах достаточно точное начальное приближение требует количества итераций приблизительно в 1,7-2,0 раза меньше, чем произвольное, достаточно далеко отстоящее от точного решения, приближение.

В-третьих, скорость сходимости метода зависит от того, каким способом реализован переход от системы вида F(x)=xк системе вида x=(x).

Анализ счета показывает, что если диагональные элементы матрицы А не близки к нулю, то при любом приближении (достаточно точном и не очень) количество шагов, требующихся для сходимости метода, практически не зависит от способа перехода от системы вида F(x)=xк системе вида x=(x). А если элементы диагонали матрицы A близки к нулю и приближение недостаточно точное, то метод сходится быстрее, если в нем реализован первый способ перехода от системы вида F(x)=xк системе вида x=(x) (см. п.2.2.).

Число операций для решения исходной системы линейных алгебраических уравнений при использовании первого способа перехода требуется несколько меньше, чем для решения исходной системы линейных алгебраических уравнений при использовании второго способа перехода. Это удалось выяснить при решении системы

(4.1) при приближении x^{( 0 )} =(1,1,1), так как в этом случае для обоих способов потребовалось одинаковое количество шагов для сходимости и одинаковое время счета, но различное число операций с плавающей точкой.

Время счета, как видно из результатов решения систем (4.1) и (4.2) линейно зависит от количества шагов и числа операций. Чем показатели последних выше, тем больше время счета.

Наконец, погрешности полученных решений, как видно из файла-отчета, не превышает заданную погрешность .

Исходя из тестовых систем линейных алгебраических уравнений и результатов их решения, можно сделать следующие выводы.

Метод простой итерации (при любом способе перехода от системы вида F(x)=xк системе вида x=(x) ) сходится быстро, если диагональные элементы матрицы А системы Ax=b близки к единице, а остальные - близки к нулю, и приближение достаточно близко к точному решению. Но при решении систем Ax=b с матрицей А, отличной от вышеописанной, метод сходится при первом способе перехода более быстро в случае, если начальное приближение далеко отстоит от точного решения, а если приближение достаточно близко лежит к точному решению, то при втором способе перехода метод сходится несколько быстрее, чем при первом.

Итак, можно сказать, что применение в прикладных задачах данного метода оправданно, но выбор перехода к системе x=(x) зависит от типа конкретной решаемой системы линейных алгебраических уравнений.

6. Заключение

В данной курсовой работе был реализован метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений в виде двух программ, каждая из которых использует свой собственный способ перехода от системы вида F(x)=xк системе вида x=(x).

Вообще говоря, метод простой итерации не отличается повышенной сходимостью (может вообще не сойтись), но если он сходится, то этот метод обычно имеет высокую точность счета и достаточно высокую скорость сходимости. Следует отметить, что все вышеперечисленное зависит от самой исходной системы Ax=b и способа перехода к системе вида x=(x). Если метод не сходится, значит не соблюдаются условия сходимости метода или используется неудачный переход к системе x=(x).