Курсовая работа: Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

· алгебраическое сложение.

Реализация выражения (1) с малыми погрешностями, не зависящими от температуры, влажности и т.д., возможна только с помощью цифрового устройства.

Цифровое устройство, реализующее алгоритм (1), называется цифровым фильтром. В таких фильтрах входной и выходной сигналы являются цифровыми, представленными двоичными кодами. Поскольку при цифровом представлении сигналов x_n , y_n и коэффициентов a_j и b_l используется конечное число двоичных разрядов, вычисления по алгоритму (1) происходит с погрешностью. Строго говоря, цифровые фильтры представляют собой нелинейные устройства, к которым не применимы методы анализа и синтеза линейных систем. Однако количество разрядов в кодах, как правило, настолько велико, что погрешностью представления указанных величин в цифровой форме можно пренебречь и при анализе считать их точными, то есть представленными бесконечным числом двоичных разрядов. Конечность числа разрядов обычно учитывается при определении точности цифровых фильтров.

Существуют цифровые фильтры двух классов:

· рекурсивные;

· нерекурсивные.

Если в выражении (1) хотя бы один из коэффициентов a_j не равен нулю, то реализуемый цифровой фильтр называется рекурсивным. Если же в выражении (1) все коэффициенты a_j равны нулю, то есть то фильтр, реализующий этот алгоритм, называется нерекурсивным.

(2)

Нерекурсивный фильтр является устройством без обратной связи, а рекурсивный фильтр – устройством с обратной связью. Нерекурсивный фильтр принято называть фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр), а рекурсивный фильтр - фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).

Так как в курсовой работе рассматривается синтез БИХ-фильтра, то в дальнейшем будем рассматривать только фильтры данного типа.

Анализ свойств цифровых фильтров производится в рамках теории z-преобразования, которое имеет такое же значение, как теория преобразования Лапласа при изучении аналоговых фильтров.

Передаточной функцией H(z) фильтра называется отношение z-образа выходного сигнала {y_n } к z-образу входного сигнала {x_n } при нулевых начальных условиях:

(3)

Применив к выражению (1) z-преобразование и учтя нулевые начальные условия у_-М =у_-М+1 =…=у_-1 =х_{- N} =х_{- N +1} =…=x_-1 =0, получим передаточную функцию рекурсивного цифрового фильтра:

(4)

Выражение (3) можно преобразовать к следующему виду:

(5)

Где

Y(z) – z-образ вспомогательного дискретного сигнала {y_n }. Из этих соотношений видно, что алгоритм работы фильтра можно задать в виде системы разностных уравнений вместо одного уравнения:

(6)

Первое уравнение соответствует передаточной функции H₁ (z), а второе – передаточной функции H₂ (z).

Формы реализации рекурсивного цифрового фильтра, построенные на основании формул (1) и (5), называются прямой и канонической соответственно.

Обычно рекурсивные фильтры большого порядка (при большом М) в прямой и рекурсивной формах не реализуют, так как при этом наблюдается значительный уровень шумов на выходе, обусловленных конечной разрядностью кодов, циркулирующих в фильтре. Поэтому фильтры большого порядка реализуют в виде совокупности отдельных звеньев, каждое из которых соответствует простому разностному уравнению. Универсальным, пригодным для построения любых фильтров, является биквадратный блок с передаточной функцией

фильтр синтез передаточная функция

, (7)

где и - постоянные коэффициенты.