Курсовая работа: Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Для решения этой задачи необходимо сначала в функцию Ф(х) вместо , затем продифференцировать получившуюся функцию по вектору , приравнять результат к нулю и оттуда выразить вектор, который является решением задачи.

Если есть функция

, то

Тогда точка минимума

(1)

Формулу (1) можно рассматривать как формулу рекуррентного расчета точки в классических методах спуска. Другими словами, формула (1) описывает процедуру пошаговой минимизации квадратичной функции Ф(х).

Формула (1) обладает рядом свойств:

,

то есть каждая компонента должна быть равна нулю

Так как предполагается, что все точки x_j при j=1,к рассчитывается по формуле (1), то справедливо следующее свойство:

i>j

Тогда формулу (1) можно преобразовать

е_к – (к+1) столбец единичной матрицы

С учетом всего этого формула (1) примет вид

Последнее выражение можно упростить, если матрица будет ортогональной. Ето возможно сделать, если вектора выбирать специальным образом. Вектора должны быть сопряженными относительно матрицы G, то есть должны выполняться следующие соотношения

Тогда получаем упрощенное выражение

Таким образом мы установили, что среди методов минимизации квадратичных функций, укладывающихся в общую модельную схему, существует метод, к-тая итерация которого приводит в точку минимума функции Ф() на многообразии +Р_к-1 .

Теоретически такой метод конечен, то есть он обеспечивает нахождение минимума функции Ф() не более чем за N шагов (N-размерность задачи), так как многообразие +Р_к-1 на последнем N-том шаге совпадает с множеством значений аргумента и следовательно, если минимум функции Ф() не был найден ранее, то он обязательно будет найден на этом шаге.

Для того, чтобы полностью определить метод сопряженных градиентов необходимо определить правило выбора вектора . Это правило выглядит следующим образом: