Курсовая работа: Межа послідовності. Теорема Штольца
Зауваження: відповідно до визначень (5) і (6), якщо а – межа послідовності {хп }, те xп – а є елементом нескінченно малої послідовності, тобто xп – а = αn , де αn – елемент нескінченно малої послідовності. Отже, xп = а +αn , і тоді ми в праві затверджувати, що якщо числова послідовність {хп } сходиться, то її завжди можна представити у вигляді суми своєї межі й елемента нескінченно малої послідовності.
Вірно й зворотне твердження: якщо будь-який елемент послідовності {хп } можна представити у вигляді суми постійного числа й елемента нескінченно малої послідовності, те це постійна і є межа даної послідовності .
2.Властивості збіжних послідовностей
Теорема 1:
Усяка збіжна послідовність має тільки одну межу.
Доказ:
Припустимо, що послідовність {xn } має дві межі (а ≠ b)
xn → a, отже xn = a + αn , де αn елемент нескінченно малої послідовності;
xn → b, отже xn = b + βn , де βn елемент нескінченно малої послідовності;
Оцінимо різницю даних рівностей 0 = a – b + (αn - βn) ,
позначимо αn - βn = γn , γn – елемент нескінченно малої послідовності,
отже, γn = b – a,
а це означає, що всі елементи нескінченно малої послідовності рівні тому самому числу b - a, і тоді b - a = 0 по властивості нескінченно малої послідовності,
отже, b = a,
отже, послідовність не може мати двох різних меж.
Теорема 2:
Якщо всі елементи послідовності {xn } рівні З (постійної), то межа послідовності {xn }, теж дорівнює С.
Доказ:
З визначення межі, треба, З = З + 0.
Теорема 3:
Якщо послідовності {xn } і {уn } сходяться, то й послідовність {xn + уn } також сходиться і її межа дорівнює сумі її що складаються (меж).
Доказ:
xn → a, отже xn = a + αn
уn → b, отже уn = b + βn
xn + уn = а + b + (αn + βn)
позначимо αn - βn = γn , отже xn + уn = а + b + γn, γn елемент нескінченно малої послідовності;
отже,
Наслідок: різниця двох збіжних послідовностей є послідовність збіжна, і її межа дорівнює різниці їхніх меж.