Курсовая работа: Мультипликативность стационарного распределения в открытых сетях с многорежимными стратегиями

Введение

Важными задачами для развития современного общества являются сбор, обработка, хранение и распространение информации. Передача информации представляет собой основу для решения этих задач и потому требует тщательного изучения. Адекватное описание процесса передачи информации с помощью математических моделей может быть осуществлено в рамках теории массового обслуживания. При этом для многих реальных систем такой процесс моделируется посредством сетей массового обслуживания. Например, к указанному результату приводит математическое моделирование мультипрограммных вычислительных систем и анализ их производительности, проектирование и анализ сетей передачи данных и сетей ЭВМ.

В начале XX века датский ученый А.К. Эрланг, работавший на копенгагенской телефонной станции, поставил и решил ряд новых математическтх задач, позволивших оценивать характеристики телефонных и телеграфных линий связи. Это способствовало возникновению нового направления в теории вероятностей – теории массового обслуживания. На начальной стадии своего развития теория массового обслуживания имела дело с системами массового обслуживания, которые описываются потоками однородных заявок, поступающих в систему, процедурами обслуживания с помощью одного или нескольких каналов, процедурами формирования очередей и способами организации процесса ожидания заявок. Строгое научное описание случайных процессов в теории массового обслуживания и их всестороннее исследование впервые было осуществлено А.Я. Хинчиным. Он исследовал одноканальную систему с ожиданием, простейшим входным потоком и рекуррентным обслуживанием, установив для нее так называемый основной закон стационарной очереди: стационарное распределение числа заявок в системе совпадает с их стационарным распределением в случайные моменты ухода заявок из системы. Большой вклад в развитие теории массового обслуживания внесли Ю.К. Беляев, А.А. Боровков, Б.В. Гнеденко, Н. Джейсуолл, Дж.Р. Джексон, Ф.П. Келли, Дж. Кендалл, Дж.Ф.С. Кингмэн, Л. Клейнрок, Г.П. Климов, И.Н. Коваленко, С. Пальм, Ф. Поллачек, Ю.В. Прохоров, Дж. Риордан, Т. Саати, В.Л. Смит и др.

В 1957 г. Дж.Р. Джексон впервые ввел в рассмотрение понятие открытой сети массового обслуживания ([99]), а в 1967 г. Гордон и Ньюэлл ввели аналогичное понятие замкнутой сети ([91]). В отличие от системы массового обслуживания сеть представляет собой более сложное образование, состоящее из систем массового обслуживания, называемых узлами сети, которые взаимодействуют между собой с помощью некоторого вероятностного механизма. В открытых сетях заявки могут поступать извне, а также уходить из сети. В замкнутых сетях сохраняется постоянное число заявок, которые с помощью случайной маршрутизации могут перемещаться между узлами сети; при этом поступление заявок в сеть и уход заявок из сети невозможны.

Результаты Джексона и Гордона-Ньюэлла не использовались до тех пор, пока в 1971 г. Ф.Р. Мур [115] не обнаружил, что замкнутые сети адекватно описывают вычислительные системы со многими ресурсами. С этого момента теория сетей обслуживания стала быстро развиваться благодаря задачам, связанным с математическим моделированием мультипрограммных вычислительных систем и анализом их производительности, с проектированием и анализом сетей передачи данных и сетей ЭВМ. Дополнительный толчок к дальнейшему развитию теории дала разработка и использование в повсеместной практике различных глобальных и локальных сетей таких, например, как EZERNET, INTERNET и т.д. Значительный вклад в развитие теории сетей внесли Г.П. Башарин, А.А. Боровков, Э. Геленбе, Дж. Джексон, В.А. Ивницкий, Ф.П. Келли, Д. Кениг, Л. Клейнрок, Ю.В. Малинковский, М. Миязава, Б. Меламед, Р. Мюнтц, С.Е.М. Перс, П.К. Поллетт, А.Н. Рыбко, Р. Серфозо, Ю.М. Сухов, П. Тейлор, А.Л. Толмачев, Д. Тоусли, П. Уиттли, Дж. Уолрэнд, Г.И. Фалин, В. Хендерсон, Х. Чао, К. Ченди, Р. Шассбергер и многие другие.

Состояние сети массового обслуживания обычно характеризуется вектором, координаты которого описывают состояния отдельных узлов сети. В силу многомерности случайного процесса состояний и статистической зависимости между координатами исследование сетей массового обслуживания на порядок сложнее, чем исследование систем массового обслуживания. Даже в случае экспоненциальных сетей, когда случайный процесс состояний является марковским, его эргодическое стационарное распределение удовлетворяет настолько сложной системе уравнений, что решить ее удается в основном только тогда, когда решение имеет форму произведеня. Множители в этом произведении зависят только от свойств индивидуальных узлов. В имеющейся литературе по стационарному распределению экспоненциальных сетей практически не рассматриваются сети с ненадежными или частично ненадежными приборами. В считанных работах рассмотрены только очень частные вырожденные случаи и то для сетей, состоящих из двух узлов. В то же время в практических ситуациях оборудование может частично или полностью выходить из строя. Например, при работе на персональном компьютере очень часто нарушаются функциональные связи между некоторыми файлами, программами или другими элементами, хотя компьютер продолжает работать. Налицо частичная потеря работоспособности, а значит, уменьшение интенсивности обслуживания.

Поэтому в диссертационной работе предпринята попытка построения моделей, адекватно описывающих такую ситуацию. Рассмотрены экспоненциальные сети с многорежимными стратегиями обслуживания, в которых обслуживающие устройства в узлах частично ненадежны и в различных режимах функционирования работают с разными интенсивностями. Для таких сетей находится инвариантная вероятностная мера в мультипликативной форме.

1. Основная модель

Рассматриваются открытые сети массового обслуживания с простейшим входящим потоком, экспоненциальным обслуживанием в узлах и марковской маршрутизацией. Однолинейные узлы могут работать в нескольких режимах, время переключения с одного режима на другой имеет показательное распределение. Переключение происходит только на соседние режимы. Устанавливается условие квазиобратимости узлов, условие эргодичности сети и для квазиобратимого случая находится стационарное распределение состояний сети в мультипликативной форме.

Постановка задачи

В подавляющем числе работ, посвященных сетям массового обслуживания с мультипликативной формой стационарного распределения, используется понятие квазиобратимости. Это вызвано тем, что квазиобратимость узлов гарантирует существование инвариантной меры в форме произведения для соответствующего сети марковского процесса. Здесь нами также используется понятие квазиобратимости.

Аналитические модели сетей с ненадежными приборами почти не рассматривались в литературе в силу сложности нахождения инвариантной меры. Наша постановка позволяет исследовать сети, в которых приборы могут частично выходить из строя, работая при этом в «щадящем» режиме.

В сеть, состоящую из однолинейных узлов, поступает стационарный пуассоновский поток заявок с параметром . Каждая заявка входного потока независимо от других заявок с вероятностью направляется в -й узел .Заявка, обслуженная в -м узле, мгновенно с вероятностью направляется в -й узел, а с вероятностью покидает сеть В -м узле находится единственный прибор, который может работать в режимах. Состояние -го узла характеризуется парой чисел , где – число заявок в -м узле, – номер режима, в котором работает прибор в -м узле . Длительность обслуживания прибором -го узла, находящегося в состоянии , имеет показательное распределение с параметром , зависящим от состояния (т.е. от числа заявок в узле и режима его работы). Назовем 0 основным режимом работы. Время пребывания в основном режиме работы имеет показательное распределение с параметром , после чего прибор переходит в режим 1. Для состояний , у которых , время пребывания в режиме также имеет показательное распределение, при этом с интенсивностью прибор -го узла переходит в режим , а с интенсивностью – в режим . Время пребывания в последнем -м режиме имеет показательное распределение с параметром , после чего прибор переходит в -й режим. Во время переключения прибора с одного режима работы на другой число заявок в узле не меняется.

Переход с режима 0 в режим 1 можно трактовать как частичную потерю работоспособности прибора, влекущую уменьшение интенсивности обслуживания с величины на . Аналогично, переход с режима в режим означает переход прибора в более щадящий режим обслуживания. Переход с режима в режим означает восстановление тех функциональных возможностей, которые были утеряны прибором при переходе с режима в режим .

Состояние сети в момент времени будем характеризовать вектором , где – состояние -го узла в момент времени . В соответствии с вышесказанным здесь – число заявок в -м узле в момент , – номер режима работы -го узла в момент .

Предположим, что , если и , если , если и , если , если и , если , а уравнение трафика

имеет единственное решение для которого (для этого достаточно, чтобы матрица , где , была неприводимой). Тогда – неприводимый марковский процесс на фазовом пространстве , где .

Цель 2.1 состоит в установлении условий эргодичности и выяснении необходимых и достаточных условий, при которых стационарное финальное распределение процесса , где , представляется в мультипликативной форме

где зависит только от состояния -го узла.

Отметим, что интенсивности перехода процесса из состояния в состояние равны

для всех иных состояний они равны нулю. Здесь – вектор, все координаты которого равны нулю кроме – вектор, все координаты которого равны нулю кроме – индикатор множества .

Анализ изолированного узла

Для упрощения обозначений в данном разделе будет опускаться индекс , указывающий номер узла. Например, – состояние узла, – пространство состояний узла, – номер режима работы прибора в узле, – стационарное распределение состояний узла и т.д. Рассмотрим изолированный узел, и предположим, что на него поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Если стационарное распределение существует, то стационарные вероятности удовлетворяют следующей системе уравнений равновесия:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--