Курсовая работа: Мультипликативность стационарного распределения в открытых сетях с многорежимными стратегиями

Для «заявко-сохраняющих» систем массового обслуживания (т.е. для которых совпадают средние интенсивности поступления и ухода заявок) один из возможных способов определения квазиобратимости выглядит следующим образом. Если на вход системы направлять простейший поток заявок с параметром , то система называется квазиобратимой, если

Здесь – часть интенсивности перехода системы из состояния в состояние , обусловленная обслуживанием заявок. Напомним, что система называется обратимой, если для любых ее состояний и

где – интенсивность перехода системы из состояния в состояние . Известно, что для систем с простейшим входящим потоком обратимость влечет квазиобратимость. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Для рассматриваемой нами задачи условие квазиобратимости (2.1.9) принимает вид

а условие обратимости (2.1.10) – форму

Лемма 1.1 [43, C.131] . Если для рассматриваемой системы входящий поток является простейшим, то обратимость и квазиобратимость эквивалентны .

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Достаточно показать, что при выполнении (2.1.3) – (2.1.8) из (2.1.11) следует (2.1.12). Сначала докажем, что для всех выполняется (2.1.12) при, т.е. равенство

При соотношение (2.1.13) следует из (2.1.3) и соотношения (2.1.11), в котором . Предположим, что (2.1.13) выполняется для некоторого , т.е.

Тогда из (2.1.4) с учетом (2.1.14) и (2.1.11) при следует (2.1.9). Итак, (2.1.9) доказано с помощью индукции по .

Теперь докажем, что для всех выполняется (2.1.12) при . При соотношение (2.1.12) следует из (2.1.6) и (2.1.11). Предположим, что (2.1.12) верно для некоторого , т.е.

Тогда (2.1.12) вытекает из (2.1.7), (2.1.11) и (2.1.15). Лемма доказана.

Лемма 1.2 [43, C.131] . Для квазиобратимости изолированного узла необходимо и достаточно выполнения условий

При выполнении (2.1.16) для эргодичности достаточно, чтобы

Финальное стационарное распределение процесса определяется соотношениями