Курсовая работа: Параллельный перенос в пространстве Лобачевского

(9)

Таким образом, можно видеть, что чем больше радиус дуги, тем меньше кривизна, и наоборот, т.е. средняя кривизна достаточно наглядно показывает степень искривленности.Пусть точка А' стремится к точке А, т.е. Ds ® 0.Тогда мы получим предельное значение средней кривизны k _cp кривой L в точке А:

(10)

Для характеристики кривизны поверхности в окрестностях точки А построим плоскость L, проходящую через нормаль NA к поверхности в точке А, т.е. через прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную касательной прямой в этой точке поверхности. Построенная нами плоскость L будет естественно перпендикулярна плоскости K , касательной к поверхности S в точке А. Ясно также, что существует бесконечное множество плоскостей, проходящих через данную нормаль, и каждая из них пересекает поверхность по некоторой кривой, которую в малой окрестности точки А можно считать частью окружности.

Предположим, далее, что наша плоскость поворачивается вокруг нормали как оси. Тогда можно видеть, что радиус таких окружностей будет непрерывно меняться, так как в каждый момент меняется кривизна поверхности в окрестности точки А, называемая нормальной кривизной поверхности в этой точке. Мы получим непрерывное множество значений нормальной кривизны.

Можно также заметить, что существуют максимальное и минимальное значения радиусов получаемых окружностей, следовательно, существуют соответствующие минимальное н максимальное значения нормальной кривизны. Если R ₁ и R ₂ – максимальный и минимальный радиусы, то k ₁ = 1/R ₁ и k ₂ = 1/R ₂ – минимальное и максимальное значения кривизны, которые называются главными значениями кривизны поверхности в точке А. Вводимые по определению величина

(11)

называемая гауссовой кривизной поверхности в точке А, и величина

(12)

называемая средней кривизной поверхности в точке А, полностью характеризуют отклонения поверхности от плоскости. В частности, если k и k _cp равны 0 во всех точках поверхности, то поверхность представляет собой плоскость.

Интересен тот факт, что гауссова кривизна не меняется при изгибаниях поверхности и описывает без обращения к еще одному измерению пространства (т.е. к пространству, объемлющему поверхность) так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Средняя кривизна связана с внешней формой поверхности. В случае одномерной линии для определения ее кривизны придется выйти в двумерное пространство. Совершенно ясно, что для гипотетических обитателей двумерной поверхности, для которой мы выясняли смысл понятия кривизны, наши построения невозможны, так как для двумерного существа понятия нормали к точке А не существует, ибо сама нормаль непредставима, как непредставима для нас нормаль к нашему пространству из пространства с большим числом измерений: она лежит во внешнем пространстве и находится, таким образом, целиком вне поверхности. Не могут построить они и окружности к точке А, также выходящие в трехмерное пространство.

Следовательно, на первый взгляд эти двумерные существа не смогут понять смысл величин R₁ и R₂ и выявить кривизну своей поверхности в точке А. Ведь и нам, чтобы доказать, что Земля сфероподобна, необходимо выйти в третье измерение – вспомним известный пример с судном, движущимся к нам из-за горизонта. Но если нас окутывает сплошной, непроницаемый туман, то как мы сможем “увидеть” трехмерность нашего пространства и доказать тем самым сфероподобность Земли?

Оказывается, кривизну можно выявить и не выходя за пределы измерений исследуемой поверхности, если воспользоваться измерением уже упомянутых величин К, L и М. Так, для Земли мы обнаружим, что сумма углов достаточно большого треугольника больше 180°. Таким образом, зная величины К, L и М, можно определить кривизну поверхности, не выходя за ее пределы. И если k = 0, то мы имеем евклидову геометрию, в случае k > 0 имеет место сферическая геометрия, при k < 0 – геометрия Лобачевского.

В последнем случае отрицательность кривизны объясняется следующим. Представим некую седловидную поверхность, отвечающую требованиям геометрии Лобачевского. Для такой поверхности два главных нормальных сечения, определяющих максимальное и минимальное значения кривизны, лежат в противоположных направлениях от точки А, а значит, радиусы кривизны необходимо взять с разными знаками. Поэтому произведение R ₁ R ₂ оказывается отрицательным числом.

3 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРА

В евклидовом пространстве равенство и параллельность двух векторов, отнесенных к разным точкам, формулируется весьма просто. Два вектора равны и параллельны, если их декартовы составляющие равны. То же определение, очевидно, годится и для векторов в плоскости . Оно непосредственно обобщается и на случай изогнутой поверхности, развертывающейся на плоскость. Если же мы имеем произвольную (не развертывающуюся) поверхность, то параллельность двух лежащих в ней векторов может быть определена только если точки приложения этих векторов бесконечно близки. Вектор на поверхности мы можем рассматривать как вектор в пространстве, касательный к поверхности в точке его приложения. Если дан вектор на поверхности в точке P, то параллельный ему (в смысле геометрии на поверхности) вектор в бесконечно близкой точке Qможет быть построен следующим образом. Данный вектор в точке Р мы рассматриваем как пространственный вектор, и строим в точке Qпараллельный ему в обычном смысле пространственный вектор, а затем проектируем его на плоскость, касательную к поверхности в точке Q. Этот касательный вектор в Qмы и считаем параллельным данному вектору в Р.

Аналитически это построение может быть выполнено следующим образом. Пусть у₁ , у₂ , у₃ — декартовы координаты в евклидовом пространстве, а х₁ , х₂ — координатные параметры поверхности. Параметрические уравнения поверхности имеют вид:

y₁ =y₁ (x₁ , x₂ ), y₂ =y₂ (x₁ , x₂ ), y₃ =y₃ (x₁ , x₂ ) (13)

и квадрат элемента дуги на поверхности будет равен

ds ² = g ₁₁ dx ₁ ² + g ₁₂ dx ₁ dx ₂ + g ₂₁ dx ₂ dx ₁ + g ₂₂ dx ₂ ² (14)

где

(15)

Пусть A_1, A₂ — ковариантные и A¹ , A² — контравариантные составляющие некоторого вектора на поверхности в точке Р(х₁ , х₂ ). Мы можем рассматривать его как пространственный вектор с прямоугольными составляющими

Y_n =A¹ + A² , ( n=1, 2, 3 ) , (16)

Причем будет

, ( l =1, 2) . (17)

Если мы, перейдя к точке Q(x₁ +dx₁ , x₂ +dx₂ ), не изменим прямоугольных составляющих Y_n , мы получим пространственный вектор, который уже не будет касательным к поверхности. Но его касательные составляющие определят на поверхности вектор

, (18)

который мы и считаем, по определению, результатом параллельного (в смысле геометрии на поверхности) переноса вектора А_l в точку Q. Нормальная же составляющая Y_n , очевидно, из формулы (18) выпадает.

В формуле (18) добавка к учитывает изменение этой величины при переходе от Р к Q. Из-за этой добавки составляющая А_l получает приращение

(19)

Подставляя сюда выражение (16) для Y_n , получаем