Курсовая работа: Параллельный перенос в пространстве Лобачевского

Поэтому формула для приращения составляющих вектора при параллельном переносе напишется

, (35)

так же как и в случае обыкновенной поверхности в обычном евклидовом пространстве.

В формулу (35) входят как ковариантные, так и контравариантные составляющие вектора, но нетрудно выразить в ней обе части через одни и те же составляющие. Мы имеем

, (36)

, (37)

Поэтому

, (38)

Сюда входят только ковариантные составляющие. С другой стороны,

, (39)

и, как легко проверить,

, (40)

Отсюда

, (41)

и, следовательно, формула для контравариантных составляющих имеет вид, (42)

Рассмотрим изменение скалярного произведения двух векторов при параллельном переносе. Тогда

. (43)

Подставляя сюда выражение для из (42) и написав, согласно (38), в виде

, (44)

, (45)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов при параллельном переносе не меняется. В частности, не меняется и абсолютная величина вектора.

Можно также определить параллельный перенос и вдоль любой заданной кривой. Пусть координаты точки на кривой заданы как функции некоторого параметра р:

x_β = x_β (p) , (46)

Величины (которые являются функциями координат) также будут известными функциями от р. Для определения вектора А^ν в функции от рмы будем иметь дифференциальные уравнения

. (47)

Если заданы значения А^ν для начальной точки кривой, то, интегрируя уравнения (47), мы получим значения А^ν и для конечной точки кривой. Тем самым мы произведем параллельный перенос вектора из начальной точки в конечную. Результат будет, очевидно, зависеть от вида кривой, вдоль которой производится перенос.

Сравним уравнения (47) параллельного переноса с уравнениями геодезической линии

(Геодезическая линия, кривая, главные нормали всех точек которой совпадают с нормалями поверхности, на которой та расположена. Кратчайшее расстояние между двумя точками по поверхности - геодезическая линия, но не всегда обратно.)

, (47*)