Курсовая работа: Параллельный перенос в пространстве Лобачевского
На основании выражения (15) для gik нетрудно проверить, что в формуле (20) сумма по nравна
, (21)
или, если воспользоваться обозначением для скобок Кристоффеля,
, (22)
Таким образом, приращение составляющих вектора при параллельном переносе будет равно
, (23)
Существенно отметить, что это приращение зависит только от внутренних свойств поверхности, определяемых выражением (14) для ds2 .
Пусть коэффициенты квадратичной формы
ds2 = gaβ dxa dxβ (24)
представлены в виде
(25)
где числа еn равны ± 1, а
(26)
Величины уn мы можем формально толковать как декартовы координаты в некотором многомерном псевдоевклидовом пространстве с метрикой, определяемой выражением
, (27)
а наше пространство-время — как некоторую гиперповерхность в этом многомерном пространстве.
Обычному контравариантному вектору Аα в пространстве-времени будет соответствовать в многомерном пространстве касательный к гиперповерхности вектор с декартовыми составляющими
, (28)
(здесь и в дальнейшем снова подразумевается суммирование по греческим значкам от 0 до 3). Отсюда получаем на основании (25) следующие выражения для ковариантных составляющих вектора Аα :
, (29)
Значения составляющих вектора Аα после его параллельного переноса в бесконечно близкую точку мы можем, аналогично (18), определить по формуле
, (30)
Откуда
, (31)
и после подстановки вместо Yn его выражения из (28)
, (32)
Но из (25) следует, аналогично (22),
, (33)
где Гγ ,αβ — обычные скобки Кристоффеля