Курсовая работа: Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій

у точках розриву і інтеграл збігається до числа

Приклад 2. Зобразити інтегралом Фур’є неперіодичну функцію

Функція задовольняє умовам зображення її інтегралом Фур’ є, до того ж вона парна, а відтак

Якщо , то

і

Функція у точці має усувний розрив (що не впливає на значення інтеграла (2.7)). Побудоване зображення функції інтегралом Фур’є можна записати у вигляді

.

2.2 Комплексна форма інтеграла Фур’є

Перетворимо за допомогою формули Ейлера [2] підінтегральну функцію у формулі (2.7) до наступного вигляду

(2.11)

де позначено

Тоді

(2.12)

Для дістаємо вираз

(2.13)

Звідси

(2.14)

Безпосередньо бачимо, що ці формули не втрачають сенс і при , бо . Тому із формули (2.7) випливає

(2.15)

Отже, в точках неперервності функції

(2.16) де

(2.17)

Вираз для у формі (2.15) називають комплексною формою інтеграла Фур’є для функції .