Курсовая работа: Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій
у точках розриву і
інтеграл збігається до числа
Приклад 2. Зобразити інтегралом Фур’є неперіодичну функцію
Функція задовольняє умовам зображення її інтегралом Фур’ є, до того ж вона парна, а відтак
Якщо , то
і
Функція у точці
має усувний розрив (що не впливає на значення інтеграла (2.7)). Побудоване зображення функції
інтегралом Фур’є можна записати у вигляді
.
2.2 Комплексна форма інтеграла Фур’є
Перетворимо за допомогою формули Ейлера [2] підінтегральну функцію у формулі (2.7) до наступного вигляду
(2.11)
де позначено
Тоді
(2.12)
Для дістаємо вираз
(2.13)
Звідси
(2.14)
Безпосередньо бачимо, що ці формули не втрачають сенс і при , бо
. Тому із формули (2.7) випливає
(2.15)
Отже, в точках неперервності функції
(2.16) де
(2.17)
Вираз для у формі (2.15) називають комплексною формою інтеграла Фур’є для функції
.