Курсовая работа: Практическое применение интерполирования гладких функций

(2) ,

– фиксированная линейно- независимая система, а () - пока неизвестные параметры.

Математическая постановка задачи интерполирования заключается в следующем. Пусть R - пространство действительных функций, определенных на отрезке [a,b], и - заданная конечная или счетная система функций из R , такая, что их любая конечная подсистема является линейно-независимой. Для данной конечной совокупности точек x₁ , x₂ , …, x_n (x_i ≠ x_j при i≠j), принадлежащих отрезку [a,b], и данной функции f(x) из R найти функцию φ, являющуюся линейной комбинацией функций так, чтобы в заданных точках значения f и φ совпадали. Другими словами, определить константы a₁ , a₂ , …, a_n так, чтобы

(3) ()

Совершенно ясно, почему число коэффициентов должно совпадать с числом узлов интерполяции x_i . Это нужно для того, чтобы матрица системы была квадратной (т.е. число неизвестных совпадало бы с числом условий, из которых находятся эти неизвестные). Кроме того, для однозначной разрешимости данной системы (при произвольной правой части) необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, т.е.:

:

Естественно, интерполянт необходимо построить в виде более легкой учетной функции, поэтому за часто берут такие системы как:

{1, х, х² , …, хⁿ }, {1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, sin(nx), cos(nx)} ,

{1, e^{x b1} , e^{x b2} , …, e^{x b n} } (biÎR, bi≠bj (i≠j), nÎN).

1.3 Полиноминальная интерполяция

Если являются степенями {1, х, х² , …, хⁿ }, то говорят об алгебраической интерполяции, а функцию называют интерполяционным полиномом и обозначим как:

(4)

Если

() (5),

то можно построить интерполяционный полином степени n и притом только один.

Найдем интерполяционный полином из вида (4). В это время, на основе (5), для нахождения неопределённых коэффициентов используем систему линейных уравнений:

a₀ x₀ + a₁ x₀ + a₂ x₀ ² + …+ a_n x₀ ⁿ = f_{0 ,}

a₀ x₀ + a₁ x₁ + a₂ x₁ ² + …+ a_n x₁ ⁿ = f_{1 ,} (6)

_{………………………………………………………….}

a₀ x₀ + a₁ x_n + a₂ x_n ² + …+ a_n x_n ⁿ = f_{n ,}

В этом случае определитель системы линейных алгебраических уравнений выглядит так:

.

Этот определитель является определителем Вандермонда и отличен от нуля в случае, когда все узлы x_i различны. Поскольку матрица системы невырождена, то решение системы существует и единственно.

Единственность интерполяционного полинома можно доказать следующим способом. Предположим, что есть два интерполяционных полинома

L_n и P_n ÎH_n [1] : L_n ≠ P_n .

Из (5) : L_n (x_i ) - P_n (x_i ) º0 и L_n (x_i ) ºP_n (x_i ) ().

так, выходит противоречие. Единственность установлена. А так как полином единственный, то у соответствующей системы линейных алгебраических уравнений есть только одно решение.

1.4 Интерполяционный полином Лагранжа

Сейчас перед нами задача, которая состоит из нахождения такого многочлена, степени n, который совпадает с заданной f(x) в точках x₁ , x₂ , …, x_n Î [a,b], т.е. чтобы выполнялось равенство

(6) f(x_j )=L_n (x_j ) ().

Чтобы решить эту задачу, введем многочлены степени n, которые в точках при i≠j равны нулю, а в точке при i=j равны единице. Очевидно, что: