Курсовая работа: Практическое применение интерполирования гладких функций

Берем любую точку и зафиксируем ее (,), рассмотрим вспомогательную функцию:

(10) , ().

- свободный параметр, который открыто объясняет ().

Значение берем проходящим через равенство . В это время концы , будучи точками промежутка, можно использовать теорему Ролля.

Существует : ()

Сейчас для этой теоремы берем точки :

Существует : ()

Когда закончим этот процесс, то получим следующее:

$:

Итак, при t = x из (10) вытекает (9). Что и требовалось доказать.

Следствие 1:

Пусть .

В то время (); над ними: .

Задача 3:

С помощью узлов построить полином для этой функции, при:

1) . Оценить погрешность полинома;

2) в [a,b] найти максимальную погрешность полинома.

Решение:

1) На основании Следствия 1 в непрерывном виде находим:

2) Использовав второе равенство из Следствия 1 получаем:

.

Замечание 2:

Полученные с помощью этой формулы множества полиномов называются полиномами Чебышева. В отдельных случаях: