Курсовая работа: Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

б). Находим точки в которых выполнено необходимое условие условного экстремума с помощью теоремы Лагранжа.

.

x	y	z
0	2	-4
2	0	16
		-1,5
		-10,4

Ответ:

z_наиб. (2;0)=16.

Задание № 2

Завод производит два вида продукции : А и В. Единица продукции вида А требует 2 часа на обработку деталей, 4 часов на сборку и 82 часов на упаковку. А единица продукции типа В требует соответственно 3, 12 и 6 часов. Оборудование завода позволяет потратить на эти операции соответственно 48, 168 и 144. Единица продукции первого вида даёт прибыль в размере $11, а второго - $10. Требуется составить план выпуска продукции, обеспечивающий заводу максимальную прибыль. Решить задачу двумя способами ( геометрическим методом и симплексным методом).

На обработку деталей,час	На сборку,час	На упаковку, час	Прибыль с ед. продукции
Продукция типа А	2	4	8	11
Продукция типа В	3	12	6	10
Завод позволяет,час	48	168	144

Геометрический метод:

X-количество продукции типа А

Y-количество продукции типа В

Тогда 11X+10Y – общая выручка, максимизируя ее, получаем целевую функцию.

11X+10Ymax - целевая функция, обеспечивающая заводу максимальную прибыль.

Условия ограниченности времени:

2X+3Y48,

4X+12Y168,

8X+6Y114,

X>0, Y>0

Рассмотрим вначале геометрический метод. В общем случае, он применим лишь в том случае, если ЗЛП содержит не более 2-х переменных величин (не считая самого значения целевой функции). В некоторых случаях ЗЛП с числом переменных более двух может быть сведена к ЗЛП с двумя переменными, однако здесь мы не будем касаться этих возможностей. Суть геометрического метода заключается в следующем:

1) На плоскости, по осям которой отложены искомые переменные величины, строится система ограничений, указанная в задаче (то есть фактически решаем графически систему неравенств). Если она не имеет решения, то соответственно ЗЛП также не имеет решения. Если имеет, то обычно мы получаем некоторый многоугольник (он может быть не замкнут). Этот многоугольник представляет собой область допустимых решения ЗЛП.

2) Находим градиент целевой функции. Он представляет собой вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.

3) Строим так называемую линию уровня. Для этого приравниваем целевую функцию какой-либо константе. Очевидно, что мы получаем прямую, перпендикулярную градиенту.

4) Возможны два варианта:

1) Целевая функция на максимум: перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента. Для простоты будем считать, что ЗЛП имеет единственное оптимальное решение. Тогда последняя точка, лежащая на границе области допустимых решений ЗЛП, через которую пройдет линия уровня и будет представлять собой оптимальное решение.

2) Целевая функция на минимум: все аналогично пункту 1 за исключением того, что линию уровня нужно перемещать в сторону, противоположную градиенту.

2X+3Y=4, (1)

4X+12Y=168, (2)