Курсовая работа: Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

В данном случае многоугольник ODABC представляет собой область допустимых решений ЗЛП. Как можно видеть из рисунка оптимальным решением ЛЗП является точка A с координатами (12;8).

На пересечении графиков (1) и (3) достигается максимальное значение функции:

Решаем систему из (1) и (3) уравнения

Получаем: X=12; Y=8.

Подставим в целевую функцию:

11*12+10*8=132+ 80=242.

Т.е. максимальная прибыль в 212$ будет достигаться при следующем плане выпуска 12 единиц товара А и 8 единиц товара В.

Симплексный метод:

Однако ЗЛП с двумя переменными на практике встречаются редко. В реальных задачах их число может доходить до сотен. Мощным инструментом для решения подобных задач является симплекс-метод. Он, в отличие от геометрического, является полностью аналитическим, что позволяет использовать его в ЗЛП с практически любым конечным числом переменных. Здесь мы не будем останавливаться подробно на симплекс-методе. Укажем лишь основные его черты. Для его использования все ограничения задачи должны представлять собой равенства. Чтобы добиться этого обычно вводят дополнительные переменные. Симплекс-метод основан на том, что оптимальным решением ЗЛП является какая-либо вершина многогранника допустимых решений ЗЛП. Вначале выбирается произвольно любая вершина многогранника (иногда это может быть сопряжено с определенными трудностями). Затем осуществляется переход к другим вершинам до тех пор, пока не обнаруживается оптимальная. Необходимо отметить, что главной отличительной чертой симплекс-метода по сравнению с простым перебором является то, что переход к следующей вершине осуществляется в направлении роста (или падения) целевой функции. Это позволяет значительно ускорить процесс поиска оптимального решения. Решим рассмотренную ранее задачу симплекс-методом.

Решение:

11X+10Y → max

2X+3Y48, + U₁

4X+12Y168,+ U₂

8X+6Y114 + U₃

X(11)	Y(10)	U1(0)	U2(0)	U3(0)	F(0)
U1(0)	2	3	1	0	0	48
U2(0)	4	12	0	1	0	168
U3(0)	8	6	0	0	1	144
Инд.строка	0	0	0	0
U1(0)	08.мар	0	1	-0,2222	0	8
Y(6)	01.мар	1	0	янв.18	0	6
U3(0)	28.мар	0	0	-0,4444	1	36
Инд.строка	-2	0	0	01.мар	0	36
X(4)	1	0	03.авг	-0,0833	0	3
Y(6)	0	1	-0,125	01.дек	0	5
U3(0)	0	0	-9,3333	01.мар	1	8
Инд.строка	0	0	03.апр	01.июн	0	42

При введении дополнительных переменных получаем:

4X+4Y+0·U₁ +0·U₂ +0·U₃ →max

4X+4Y+U₁ =32

6X+18Y+U₂ =108

12X+8Y+U₃ =84

Процесс перебора вершин многогранника допустимых решений в поисках оптимального отразим в следующей симплекс-таблице:

a₂₂ -разрешающий элемент

a₁₁ -разрешающий элемент

Т.к. в индексной строке мы достигли положительного (все элементы положительны), следовательно находимся в оптимальном решении.

В итоге получаем:

X=3; Y=5; U3=8 - базисные переменные

U1=0; U2=0 - свободные переменные

Fmax = 42 – достигнута максимальная прибыл

Задание № 3