Математика / Курсовая работа: Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Курсовая работа: Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Теория:

Определение. Функциональный ряд вида

называется тригонометрическим рядом или рядом Фурье. Постоянные числа a₀ , a_n , и b_n (n=1,2,…) называются коэффициентами тригонометрического ряда или коэффициентами Фурье.

Если дана периодическая функция f(x) с периодом 2π, то целью применения ряда Фурье является отыскание тригонометрического ряда, сходящегося к данной функции. Таким образом, мы отыскиваем функцию, являющуюся суммой ряда в интервале (-π, π):

При этом коэффициенты Фурье находят по формулам:

, ,

Ряд Фурье для функции с периодом 2l.

Пусть f(x) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2π. Тогда при разложении ее в ряд Фурье получим формулу:

где коэффициенты a₀ , a_n , и b_n вычисляются по формулам:

О разложении в ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на некотором отрезке задана кусочнo-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию с периодом , совпадающую с функцией f(x) на отрезке . Разложим функцию в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f(x), т.е. мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье на отрезке .

Рассмотрим, далее, следующий важный случай. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0,l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [-l,0] (сохраняя кусочно монотонность), мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы продолжим определение функции f(x) при так: f(x) = , то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. (Функция f(x) “продолжена нечетным образом”).