Курсовая работа: Применение интегралов к решению прикладных задач

Имеем по формуле (3) , в то время как площадь круга радиуса будет . Площадь витка спирали равна трети площади круга (этот результат был известен ещё Архимеду). чертёж 6.

4). Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой

, (чертёж 5). Имеем по формуле (4)

.

Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади круга радиуса a .

1.2 Объём тела

Начнём с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты H , основанием которого служит квадрируемая плоская фигура ( P ), имеет объём, равный произведению площади основания на высоту: .

Возьмём многоугольники и , соответственно содержащиеся в (P ), так, чтобы их площади и стремились к P . Если на этих многоугольниках построить прямые призмы и высоты H , то их объёмы и будут стремиться к общему пределу , который и будет объёмом нашего цилиндра

Рассмотрим теперь некоторое тело (V ), содержащееся между плоскостями и , и станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными к оси x (чертёж 7). Допустим, что (чертёж 7) все эти сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсциссе x , - обозначим её через P ( x ) – будет непрерывной функцией от x (для ).

Если спроектировать без искажения два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси x , то они могут либо содержаться одно в другом (чертёж 8а), либо частично одно на другое налегать, (чертёж 8) или лежать одно вне другого (чертёж 8б и 8в). Мы остановимся на том случае, когда два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси x , оказываются всегда содержащимися одно в другом.

В этом предположении можно утверждать, что тело имеет объём, который выражается формулой . (5)

Для доказательства разобьём отрезок на оси x точками на части и разложим плоскостями , проведёнными через точки деления, всё тело на слои . Рассмотрим i -й слой, содержащийся между плоскостями и (i = 0,1,…,n -1). В промежутке функция P (x) имеет наибольшее значение и . Если сечения, отвечающие различным значениям x в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, , то все они при сделанном предположении будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь , и содержать в себе наименьшее, с площадью . Если на этих, наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высоты , то больший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На основании сделанного вначале замечания объёмы этих цилиндров будут, соответственно, и .

Из входящих цилиндров составится тело (T ), а из выходящих – тело (U ). Их объёмы равны, соответственно, и и, когда стремится к нулю , имеют общий предел (5). Значит таков же будет и объём тела(V ).

Важный частный случай, когда заведомо выполняется указанное выше предположение о взаимном расположении сечений, представляют тела вращения . Вообразим на плоскости xy кривую, заданную уравнением , где непрерывна и неотрицательна. Станем вращать ограниченную её криволинейную трапецию вокруг оси x (чертёж 9а и 9б). Полученное тело (V ), очевидно, подходит под рассматриваемый случай, ибо сечения его проектируются на перпендикулярную к оси x плоскость в виде концентрических кругов. Здесь , так что

.

Если криволинейная трапеция ограничена (чертёж 9)

и сверху и снизу кривыми и , то очевидно,

, (7)

Хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться. Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие тела, которые получаются путём сложения или вычитания из тел, удовлетворяющих упомянутому предположению.

В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело ( V ) имеет объём, то он выражается формулой (6).

Примеры: 1). Пусть эллипс вращается вокруг оси x . Так как , то для объёма эллипсоида вращения найдём

.

Аналогично для объёма тела, полученного от вращения вокруг оси y , найдём выражение . Предполагая же в этих формулах , мы получим для объёма щара радиуса r известное значение .

2). То же – для ветви циклоиды , (). Параметрическое уравнение кривой облегчают выполнение подстановки , в формуле . Именно:

.

3). Найти объём трёхосного эллипсоида, заданного каноническим уравнением (чертёж 10).