Курсовая работа: Применение интегралов к решению прикладных задач

1). Пользуясь теоремой Гульдина, определить положение центра тяжести дуги AB (чертёж 13) круга радиуса r . Так как эта дуга симметрична относительно радиуса OM , проходящего через её середину M , то её центр тяжести C лежит (чертёж 13) на этом радиусе, и для полного определения положения центра тяжести необходимо лишь найти его расстояние от центра O . Выбираем оси, как указано на чертеже, и обозначим длину дуги AB через s , а её хорды - через h . От вращения рассматриваемой дуги вокруг оси x получается шаровой пояс, площадь поверхности Q которого равна . По теореме Гульдина та же поверхность равна , так что и . В частности, для полуокружности , и .

2). Определить центр тяжести ветви циклоиды (чертёж 5):

,

Если принять в расчёт симметрию, то сразу ясно, что . Учитывая же результаты примера 2) п.1.4., легко получить затем: .

1.6 Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую фигуру (чертёж 14), ограниченную сверху кривой AB , которая задана явным уравнением . Предположим, что вдоль по этой фигуре равномерно распределены массы, так что (чертёж 14) поверхностная площадь их (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Можно принять, что =1, т.е. что масса любой части нашей фигуры измеряется её площадью. Это всегда и подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.

Чтобы определить статические моменты и этой фигуры относительно осей координат, выделим какой-нибудь элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (см. чертёж). Приняв эту полоску приближённо за прямоугольник, видим, что масса её (выражаемая тем же числом, что и площадь) будет . Для определения соответствующих элементарных моментов и предположим всю массу полоски сосредоточенной в её центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), что, как известно, не изменяет величины статических моментов. Полученная материальная точка отстоит от оси x на расстоянии , от оси y – на расстоянии ; последнее выражение можно заменить просто через x , ибо отброшенная величина , умноженная на массу , дала бы бесконечно малую второго порядка. Итак, имеем , . Просуммировав эти элементарные моменты, придём к результатам

, , (14)

причём под y разумеется функция .

Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты , центра тяжести фигуры. Если через P обозначить площадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести

, , откуда

, . (15)

И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из формулы для ординаты центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем .

Правая часть этого равенства выражает объём V тела, полученного от вращения плоской фигуры около оси x (формула 6: ), левая же часть выражает произведение площади этой фигуры P на - длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гульдина:

Объём тела вращения плоской фигуры около не пересекающей её оси равен произведению площади э?