Курсовая работа: Разработка и проектирование робота для разминирования

Пусть H(t)=H(t₁ ). Схват должен пройти последовательность узловых точек в декартовом пространстве: H(t₁ ), H(t₂ )…H(t_n ) . Для построения траектории узловым точкам ставятся в соответствие векторы присоединенных координат [q₁₁ (t₁ ), q₁₂ (t₂ ), …,q_{1 n} (t_n )],[ q₂₁ (t₁ ), q₂₂ (t₂ ), …,q_{2 n} (t_n )],…[ q_{1 n} (t₁ ), q_{2 n} (t₂ ), …,q_Nn (t_n )], где q_ji обозначает j-ю присоединенную переменную, соответствующую положению схвата в i-й узловой точке H(t). В данной процедуре построение траектории сочленения происходит для одного сочленения за один раз. Затем строится кубическая интерполяция траектории j-ой присоединенной переменной между точками q_{j 1} (t₁ ), q_{j 2} (t₂ ), …,q_jn (t_n ). Индекс j в переменной q_ji не обязателен, поэтому q_ji ставим в соответствие q_i .

Главная задача – построить траекторию j-ой присоединенной переменной во времени с использованием кубического полинома. Пусть t₁ <t₂ <…<t_{n -2} <t_{n -1} <t_n – моменты прохождения узловых точек. В начальный момент t=t₁ и конечный момент t=t_n заданы соответственно начальные q_{j 1} , v_{j 1} , a_{j 1} и конечные q_jn , v_jn , a_jn (положение, скорость и ускорение). Кроме того, значения присоединенной переменной q_jk в моменты времени t_k заданы для k=3,4,…,n-2. Однако, значения q₂ и q_{n -1} не фиксированы: как уже говорилось, это необходимо для обеспечения непрерывности кинематических характеристик вдоль всей траектории.

Пусть Q_ji (t) – кубический полином, описывающий поведение j-й присоединенной переменной между узловыми точками H_i и H_{i +1} и определенный на интервале [t₁ , t_{i +1} ]. Задача состоит в “сшивке” между собой полиномов Q_ji (t) (i=1,2,…,n-1) так, чтобы они проходили через заданные узловые точки и обеспечивалась непрерывность положения, скорости и ускорения на всем интервале [t₁ , t_n ].

Поскольку Q_ji (t) – кубический полином, его вторая производная Q’’_ji (t) должна быть линейной функцией времени t:

Q’’_ji (t)=[(t_{i +1} -t)/h_i ]*Q’’_ji (t_i ) + [(t-t_i )/h_i ]*Q’’_ji (t_{i +1} ),

i=1,…,n-1, (1)

j=1,…,N,

где h_i = t_{i +1} -t – время, затрачиваемое на прохождение i-го участка. Дважды интегрируя Q’’_ji (t) и учитывая граничные условия Q_ji (t_i )=q_ji и Q_ji (t_{i +1} )=q_{i , i +1} , получаем интерполирующую функцию следующего вида:

Q_ji (t)= [(Q’’_ji (t_i )/6h_i ]*(t_i+1 -t)³ + (Q’’_ji (t_i+1 )/6h_i ]*(t-t_i )³ +

+ [q_j,i+1 /h_i – h_i Q’’_ji (t_i+1 )/6](t-t_i ) + [q_i,t /h_i – h_i Q’’_ji (t_i )/6](t_i+1 -t) i=1,2,…,n-1,

j=1,2,…,N. (2)

Таким образом, для i=1,2,…,n-1, Q_ji (t) определены, если известны Q’’_ji (t_i ) и Q’’_ji (t_{i +1} ). На основании этого можно записать систему n-2 линейных уравнений относительно неизвестных Q’’_ji (t_i ), i=2,…, n-1,(описание системы в приложении А):

A=, (3)

A==

=

Ленточная структура матрицы А позволяет легко определить неизвестную величину Q’’_i (t_i ). В окончательном виде полиномы Q_i ’’(t_i ) выражаются временными интервалами h_i и данными значениями присоединенных координат, скоростей и ускорений.

Доказательство единственного решения

Свойство 1: Задача интерполяции траектории имеет единственное решение, т.е. матрица А в уравнении (3) неособенная.

Доказательство: Известно, что h_i – временные интервалы и должны быть положительны. Кроме того, в матрице А все строки, кроме 2 и n-3, удовлетворяют неравенству

, для строки i. (4)

а) Если h₂ h₁ и h_{n -2} h_{n -1} , строки 2 и n-3 также будут удовлетворять неравенству (4). Поэтому, матрица А становится строго диагональной и неособенной.

б) Если h₁ > h₂ , выполняем строковую операцию вычитания (строка 1)x(h₂ – h² ₁ /h₂ )/(3h₁ +2h₂ + h² ₁ /h₂ ) из строки 2 для исключения а₂₁ .

Получаем:

и

.

Из h₁ >h₂ следует, что . Поэтому матрица А эквивалентна строго диагональной матрице. Следовательно, уравнение (3) имеет единственное решение.

III.Описание траектории кубическими полиномами

В промышленности производительность зависит от скорости манипулирования робота. Для увеличения скорости работы манипулятора нужно минимизировать время движения вдоль заданной траектории. Задача оптимизации сводится к минимизации времени движения путем соответствующего выбора величин временных интервалов h₁ , h₂ ,…, h_{n -1} . с учётом ограничений присоединенных скоростей, ускорений, моментов и скоростей изменения ускорений. Для удобства примем: