Курсовая работа: Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Так как , то . С другой стороны, и , откуда получаем . Теорема доказана.

Определение. Пусть – субнормальная подгруппа дефекта в . Субнормальная -цепь

называется канонической, если для любой субнормальной -цепи

имеет место , , ,…, .

Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.

Теорема. Если субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.

Доказательство. Пусть – дефект подгруппы в группе . Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины .

все субнормальные -цепи длины ( – второй индекс). Положим . Так как , то для любого , ,…, мы имеем

Таким образом, цепь

является субнормальной -цепью длины и, следовательно, не имеет повторений. Так как при любых и , то теорема доказана.

Теорема. Если субнормальна в и – подгруппа , то пересечение есть субнормальная подгруппа .

Доказательство. Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :

Положим . Получаем цепь

Ясно, что она будет субнормальной, так как . Действительно, пусть , значит, и . Тогда для любого , так как и .

Мы получили субнормальную -цепь. Теорема доказана.

Следствие. Пусть и – подгруппы группы . Если субнормальна в и – подгруппа , то субнормальна в .

Доказательство. Пусть и цепь

является субнормальной -цепью.

Положив , получим субнормальную -цепь

что и требовалось.