Курсовая работа: Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Доказательство. Возьмем произвольную подгруппу из . Если не нормальна в , то по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , , . По условиям 1) и 2) , . Если не нормальна в , то найдется такой, что , , . Тогда и . Если не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы , представимой в виде , где – некоторые элементы из . Очевидно, , и теорема доказана.

Следствие. Если – непустой радикальный класс, то содержит все субнормальные -подгруппы группы .

Доказательство. Пусть – множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.

Следствие. Для любой субнормальной подгруппы группы справедливы следующие утверждения:

1) если – -группа, то ;

2) если нильпотентна, то ;

3) если -нильпотентна, то ;

4) если разрешима, то .

2. Минимальные не -группы

Лемма [3]. Пусть , где – локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) группа монолитична с монолитом

2) – -группа для некоторого простого ;

3) – -эксцентральный главный фактор ;

4) ;

5) если группа неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;

6) если абелева, то она элементарна;

7) если , то – экспонента ; при экспонента не превышает 4;

8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы из имеет место

9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы сопряжены в ;

10) если и подгруппа содержит , то для любого полного локального экрана формации ;

11) если – -абнормальная максимальная подгруппа группы и – некоторый полный локальный экран , то – минимальная не -группа и либо , либо .

Доказательство. 1) Пусть – минимальная нормальная подгруппа из такая, что . Очевидно, что . Противоречие. Итак, – минимальная нормальная подгруппа . Так как – формация, то, нетрудно заметить, что – единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что

Отсюда следует, что

2) Выше мы показали, что – главный -фактор. Покажем, что – -группа. Предположим противное. Пусть простое число делит , но не делит . По лемме 4.4 из [5] , где – содержащаяся в силовская -подгруппа из . Тогда