Курсовая работа: Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп
Доказательство. Пусть – наибольший из дефектов подгрупп
и
в группе
. Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи
Положим ,
,
,…,
. Из
,
следует, что
нормальна в
. Следовательно, цепь
является субнормальной -цепью, что и доказывает теорему.
Лемма. Если субнормальна в
, а
– нормальная подгруппа группы
, то произведение есть субнормальная подгруппа группы
.
Доказательство. субнормальна в
, следовательно, существует субнормальная
-цепь
Следовательно, цепь
будет субнормальной.
Действительно, так как и
, то
. Лемма доказана.
Лемма. Если подгруппы и
субнормальны в
и
, топроизведение
есть субнормальная подгруппа группы
.
Доказательство. Если нормальна в
, то результат следует по лемме 1.9.
Предположим, что не нормальна в
, то есть
. Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим
. Таким образом, если
и
субнормальны в
причем
и
, то по индуктивному предположению
субнормальна в
.
Пусть – каноническая субнормальная
-цепь. Так как
нормализует подгруппу
, то для любого
цепь
будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной
-цепи
, а значит,
для любого
,
,…,
(по определеделению).
Следовательно, содержится в
для любого
. Так как
и
, то по индукции
субнормальна в
. По следствию 1.7.1
субнормальна в
. Так как
и
, то
. Таким образом,
,
, а значит, по лемме 1.9 подгруппа
субнормальна в
. К тому же
, то мы получаем
. Лемма доказана.
Теорема. Если и
– субнормальный подгруппы группы
, то
есть также субнормальная подгруппа
.
Доказательство. Положим . Среди субнормальных подгрупп группы
, содержащихся в
, выберем подгруппу
, имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1
субнормальна в
. Докажем, что
нормальна в
. Предположим противное, то есть что
не нормальна в
. Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент
, что
,
и
. Так как
субнормальна в
и
, то
субнормальна в
. Получается следующая ситуация:
и
субнормальны в
,
. По лемме 1.10
субнормальна в
. Ввиду выбора
отсюда следует
, что противоречит
.
Итак, нормальна в
, а значит,
и
нормализуют подгруппу
. По лемме 1.10
и
субнормальны в
. Так как
и
, то ввиду выбора
получаем
. Следовательно,
, откуда вытекает, что
. Теорема доказана.
Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.
Теорема (Виландт). Множество всех субнормальных подгрупп группы образует подрешетку решетки
.
Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.
Теорема. Пусть – некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы
, удовлетворяющее следующим условиям:
1) если и
, то
;
2) если ,
,
,
, то
.