Курсовая работа: Рішення ірраціональних рівнянь

Приклад 1. Вираження ( і визначені при всіх . Виходить, ОПЗ: .

Приклад 2. . Вираження не визначене при , а вираження не визначене при .

Виходить, ОПЗ: .

Приклад 3. . Корінь парного ступеня має сенс лише при ненегативних значеннях підкореневого вираження. Виходить, одночасно повинні виконуватися умови: тобто ОПЗ:

Визначення 9. Нехай дані рівняння: (1), (2).

Якщо кожний корінь рівняння (1) є одночасно коренем рівняння (2), то рівняння (2) називається наслідком рівняння (1). Наслідок позначається в такий спосіб:

Приклад 1.

У процесі рішення рівняння часто доводиться застосовувати такі перетворення, які приводять до рівняння, що є наслідком вихідного. Рівнянню-Наслідку задовольняють всі корені вихідного рівняння, але, крім них, рівняння-наслідок може мати й такі рішення, які не є коріннями вихідного рівняння, так звані, «сторонні» корені. Щоб виявити й відсіяти «сторонні» корінь, звичайно надходять так: всіх знайдених корінь рівняння-наслідку перевіряють підстановкою у вихідне рівняння.

Розглянемо приклади перетворень, які можуть привести до розширення ОПЗ, тобто до появи «сторонніх» корінь.

Заміна рівняння рівнянням

Якщо при деякому значенні , рівному , вірне рівність , то вірним є також рівність . Виходить, рівняння є наслідком вихідного рівняння. При цьому може існувати таке значення , рівне , при якому й . Тоді число , що є коренем рівняння , не є коренем вихідного рівняння, тому що при вихідне рівняння не має змісту.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення. . Тоді .

Перевірка.

При знаменник рівняння не звертається в нуль, а при - звертається. Отже, вихідне рівняння має єдиний корінь: -10.

Відповідь: .

2. Введення обох частин рівняння у квадрат

Нехай дані два рівняння (1) і . Якщо - корінь першого рівняння, то вірно рівність . З рівності двох чисел випливає рівність їхніх квадратів, тобто , а це означає, що - корінь рівняння (2). Значить із рівняння (1) потрібне рівняння (2).

У той же час із рівності квадратів чисел не потрібне рівність цих чисел. Тому з рівняння (2) не потрібне рівняння (1). Звідси випливає, що якщо при рішенні рівняння використовувалося введення обох частин рівняння у квадрат, те потрібно повести додаткове дослідження, що дозволяє виключити «сторонні» корені, якщо вони з'явилися.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння у квадрат.

; .Тоді , .

Перевірка.

Якщо , те, рівність не вірно, отже, -1- не є коренем вихідного рівняння.

Якщо , то 4=4, рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь: 4.

Відповідь: {4}.

3. Виконання в одній частині (або в обох частинах) рівняння тотожних перетворень, що приводять до розширення області визначення рівняння.

Якщо деяке тотожне перетворення привело до розширення області визначення рівняння, то одержуємо рівняння - наслідок. При цьому можуть існувати такі значення змінної, які є коріннями вихідного рівняння.