Курсовая работа: Рішення ірраціональних рівнянь

Рішення. Виконавши приведення подібних доданків, одержимо: . Тоді , .

Перевірка.

Якщо , то вираження не має змісту.

Якщо , те, рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь:5.

Відповідь: {5}.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Рішення. або . Тоді , .

Перевірка.

Якщо , то вираження не має змісту.

Якщо , те, рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь:-2.

Якщо при рішенні рівняння ми замінили його рівнянням - наслідком, то зазначена вище перевірка є невід'ємною частиною рішення рівняння. Тому важливо знати, при яких перетвореннях дане рівняння переходить у наслідок.

Розглянемо рівняння (3) і помножимо обидві частини його на одне й теж вираження , що має зміст при всіх значеннях . Одержимо рівняння: (4), коріннями якого служать як коріння рівняння (3), так і корінь рівняння .

Виходить, рівняння (4) є наслідок рівняння (3). Ясно, що рівняння (3) і (4) рівносильні, якщо «стороннє» рівняння не має корінь. Таким чином, справедлива наступна теорема.

Теорема 1. Якщо обидві частини рівняння помножити на , то вийде рівняння, що є наслідком вихідного. Якщо рівняння не має корінь, то отримане рівняння рівносильне вихідному (якщо область припустимих значень не вже області припустимих значень змінної даного рівняння).

Приклад 1. .

Помітимо, що подібне перетворення, тобто перехід від рівняння (4) до рівняння (3) діленням обох частин рівняння (4) на вираження , як правило, неприпустимо, оскільки можна привести до втрати корінь, у цьому випадку можуть «втратитися» коріння рівняння .

Приклад 2. Рівняння має два корені: 3 і 4.

Ділення обох частин рівняння на приводить до рівняння , що має тільки один корінь 4, тобто відбулася втрата кореня.

Знову візьмемо рівняння (3) і зведемо обидві його частини у квадрат. Одержимо рівняння: (5), коріннями якого служать як коріння рівняння (3), так і корінь «стороннього» рівняння . Ясно, що рівняння (3) і (5) рівносильні, якщо в «стороннього» рівняння немає кореню.

Приклад 3. Рівняння має корінь 4. Якщо обидві частини цього рівняння піднести до квадрата, то вийде рівняння , що мають два корені: -2 і 4. Виходить, рівняння - наслідок рівняння . При переході від рівняння до рівняння з'явився «сторонній» корінь: -2.

Теорема 2. При піднесенні обох частин рівняння у квадрат (і взагалі в будь-який парний ступінь) виходить рівняння, що є наслідком вихідного.

Приклад 1. .

При рішенні ірраціонального рівняння найчастіше намагаються замінити його більше простим, але рівносильним вихідному. Тому важливо знати рівносильні перетворення.

Визначення 10. Рівняння, що має ті самі корінь, називають рівносильними рівняннями. Рівняння, що не мають корінь, також уважають рівносильними. Іншими словами два рівняння називають рівносильними, якщо множини їхніх рішень збігаються. Рівносиль позначається в такий спосіб: .

Приклад 1. Рівняння й рівносильні, тому що кожне з них має єдиний корінь – число 3. .

Приклад 2. Рівняння й не рівносильні, тому що перше має тільки один корінь: 6, а друге має два корені: 6 і -6.

Приклад 3. Рівняння й рівносильні, тому що множини їхніх рішень порожні. .