Курсовая работа: Рішення ірраціональних рівнянь
.
,
те рівняння (6) є наслідком вихідного рівняння. Тоді, складаючи рівняння (5) і (6), одержимо рівняння
(7), що також є наслідком вихідного рівняння (5). Зведемо обидві частини рівняння (6) у квадрат, одержимо рівняння
(8), що також є наслідком вихідного рівняння. Вирішуючи рівняння (8), одержуємо, що
,
Перевіркою переконуємося, що обоє цих числа є коріннями вихідного рівняння.
Відповідь: .
Зауваження. Рівняння виду можна вирішувати множенням обох частин рівняння на деяке вираження, що не приймає значення нуль (на сполучене лівій частині рівняння тобто
Приклад 2. Вирішити рівняння (8).
Рішення. , те помножимо обидві частини рівняння на вираження
, що є сполученим лівої частини рівняння (8).
. Після приведення подібних доданків одержуємо рівняння
(9), рівносильне вихідному, тому що рівняння
дійсних корінь не має. Складаючи рівняння (8) і (9) одержуємо, що
. Тоді
Відповідь: .
Зауваження. Також рівняння виду можна вирішувати за допомогою ОПЗ рівняння й рівносильних переходів від одних рівнянь до інших.
Приклад 3. Вирішити рівняння
Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.
ОПЗ: Отже,
На ОПЗ обидві частини рівняння позитивні, тому після введення у квадрат одержимо рівняння: , рівносильне для
рівнянню
Іноді рішення рівняння можна знайти, вирішуючи його на різних числових проміжках.
Для кожного маємо
, а
. Отже, серед
немає рішень рівняння
.
Для маємо
. Отже,
для
.
. Тоді
. Так як
, те
є коренем рівняння
, рівносильному рівнянню
для цих х.
Відповідь: .
Приклад 4. Вирішити рівняння
Рішення. Перетворимо вихідне рівняння.
Зведемо обидві частини даного рівняння у квадрат.
Перевірка показує, що 5 є коренем вихідного рівняння.
Зауваження. Іноді значно простіше можна вирішувати рівняння виду , якщо скористатися властивостями монотонності функцій, а саме тим, що сума двох зростаючих функцій є зростаючою функцією, і всяка монотонна функція кожне своє значення приймає, лише при одному значенні аргументу. Дійсно, функції
й
- зростаючі. Отже, їхня сума - зростаюча функція.
Виходить, вихідне рівняння, якщо має корінь, те тільки один. У цьому випадку, з огляду на, що , підбором легко знайти, що 5 є коренем вихідного рівняння.
Приклад 5. Вирішити рівняння
Рішення. Якщо обидві частини вихідного рівняння піднести до квадрата, то вийде досить складне рівняння. Надійдемо по-іншому: перетворимо рівняння до виду:
Вирішимо нерівність системи.