Курсовая работа: Рішення ірраціональних рівнянь
Приклад 1. Вираження (
і
визначені при всіх
. Виходить, ОПЗ:
.
Приклад 2. . Вираження
не визначене при
, а вираження
не визначене при
.
Виходить, ОПЗ: .
Приклад 3. . Корінь парного ступеня має сенс лише при ненегативних значеннях підкореневого вираження. Виходить, одночасно повинні виконуватися умови:
тобто ОПЗ:
Визначення 9. Нехай дані рівняння: (1),
(2).
Якщо кожний корінь рівняння (1) є одночасно коренем рівняння (2), то рівняння (2) називається наслідком рівняння (1). Наслідок позначається в такий спосіб:
Приклад 1.
У процесі рішення рівняння часто доводиться застосовувати такі перетворення, які приводять до рівняння, що є наслідком вихідного. Рівнянню-Наслідку задовольняють всі корені вихідного рівняння, але, крім них, рівняння-наслідок може мати й такі рішення, які не є коріннями вихідного рівняння, так звані, «сторонні» корені. Щоб виявити й відсіяти «сторонні» корінь, звичайно надходять так: всіх знайдених корінь рівняння-наслідку перевіряють підстановкою у вихідне рівняння.
Розглянемо приклади перетворень, які можуть привести до розширення ОПЗ, тобто до появи «сторонніх» корінь.
Заміна рівняння рівнянням
Якщо при деякому значенні , рівному
, вірне рівність
, то вірним є також рівність
. Виходить, рівняння
є наслідком вихідного рівняння. При цьому може існувати таке значення
, рівне
, при якому
й
. Тоді число
, що є коренем рівняння
, не є коренем вихідного рівняння, тому що при
вихідне рівняння не має змісту.
Приклад 1. Вирішити рівняння .
Рішення. . Тоді
.
Перевірка.
При знаменник рівняння не звертається в нуль, а при
- звертається. Отже, вихідне рівняння має єдиний корінь: -10.
Відповідь: .
2. Введення обох частин рівняння у квадрат
Нехай дані два рівняння (1) і
. Якщо
- корінь першого рівняння, то вірно рівність
. З рівності двох чисел випливає рівність їхніх квадратів, тобто
, а це означає, що
- корінь рівняння (2). Значить із рівняння (1) потрібне рівняння (2).
У той же час із рівності квадратів чисел не потрібне рівність цих чисел. Тому з рівняння (2) не потрібне рівняння (1). Звідси випливає, що якщо при рішенні рівняння використовувалося введення обох частин рівняння у квадрат, те потрібно повести додаткове дослідження, що дозволяє виключити «сторонні» корені, якщо вони з'явилися.
Приклад 1. Вирішити рівняння .
Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння у квадрат.
;
.Тоді
,
.
Перевірка.
Якщо , те
, рівність не вірно, отже, -1- не є коренем вихідного рівняння.
Якщо , то 4=4, рівність вірно.
Отже, рівняння має єдиний корінь: 4.
Відповідь: {4}.
3. Виконання в одній частині (або в обох частинах) рівняння тотожних перетворень, що приводять до розширення області визначення рівняння.
Якщо деяке тотожне перетворення привело до розширення області визначення рівняння, то одержуємо рівняння - наслідок. При цьому можуть існувати такі значення змінної, які є коріннями вихідного рівняння.