Курсовая работа: Рівносильні та рівновеликі багатокутники

Рис. 1.1 Приклад перетворення рівноскладених та рівновеликих багатокутників (рівнобічний трикутник у квадрат)

Приведемо математичне доказування теореми [6].

Багатокутники P і P’ називаються рівноскладеними, якщо вони допускають розбивки на рівні багатокутники (тобто існують такі розбивки {M ₁ ,..., M_n } і {M’ ₁ ,..., M’_n } багатокут-ників P і P’ відповідно, що M_i = M’_i при всіх i < n ). Очевидно, що рівноскладені багатокут-ники мають однакову площу. Чи вірно зворотне твердження? Перш ніж відповісти на це питання, доведемо кілька допоміжних тверджень.

Лема 1. Якщо багатокутник P₁ рівноскладений з багатокутником P₂ і багатокутник P₂ , у свою чергу, рівноскладений з P₃ , то P₁ і P₃ також рівноскладені.

Лема 2. Будь-який трикутник ABC рівноскладений з деяким прямокутником.

Доведення. Нехай [AB ] - більша сторона трикутника ABC (рис.1.2) . Тоді підстава висоти [CH ] належить відрізку [AB ]. Через точку M - середину висоти [CH ] - проведемо пряму a , паралельну (AB ). Позначимо через P , L , E і F точки перетинання прямій a зі сторонами [AC ] і [BC ], а також проекції точок A і B на пряму a відповідно.

Рис.1.2 До Доведення Леми 2

Тепер рівноскладеність ∆ ABC і прямокутника AEFB витікає з умов ∆ AEP = ∆CMP , ∆BFL = ∆CML . Лема доведена.

Лема 3. Якщо паралелограми ABCD і KLMN мають загальну основу й однакову площу, то вони рівноскладені.

Доведення. Будемо вважати, що відрізки [AB ] і [KL ] збігаються, і точки M і N лежать на прямій (CD ) – рис.1.3. Розглянемо окремо два випадки взаємного розташування відрізків [CD ] і [MN ]. Перший випадок. Нехай відрізки [CD ] і [MN ] перетинаються. Не обмежуючи спільності, припустимо, що точка C лежить на відрізку [MN ].

Рис.1.3 До доведення Леми 3 Рис.1.4 До доведення Леми 3

Тоді рівноскладеність ABCD і ABMN витікає з умови ∆DAN = ∆CBM .

Другий випадок. Якщо відрізки [CD ] і [MN ] не перетинаються, то відкладемо послідовно точки C ₁ = C ,...,C_n так, що [C_i C_{i +1} ] = [CD ] при i  n 1 і відрізок [C_{n 1} C_n ] перетинає [MN ] – рис.1.4.

Тепер до ланцюжка паралелограмів ABCD , ABC ₁ C ₂ ,..., ABC_{n 1} C_n , ABMN досить застосувати перший випадок і лему 1. Лема доведена.

Лема 4. Якщо прямокутники ABCD і KLMN мають однакову площу, то вони рівноскладені.

Доведення. Не обмежуючи спільності міркування, будемо вважати, що відрізок [AB ] - найбільша зі сторін даних прямокутників – рис.1.5. Тоді на промені [ML ) найдуться такі точки P і S , що S  [PM ], [PS ] = [KN ] і [SN ] = [AB ]. Чотирикутники ABCD і KNSP , а також KNSP і KLMN рівноскладені по попередній лемі. Тоді з леми 1 витікає, що ABCD і KLMN рівноскладені. Лема доведена.

Рис.1.5 До доведення Леми 4

Лема 5. Будь-який багатокутник M рівноскладений з деяким прямокутником.

Доведення. Нехай {T_i : i <n } - розбивка M на трикутники. Зафіксуємо деякий нетривіальний відрізок [A ₁ B ₁ ] . Через точки A ₁ і B ₁ перпендикулярно прямій (A ₁ B ₁ ) проведемо дві прямі. На цих прямих виберемо сонаправлені промені [A ₁ X ) і [B ₁ Y ). На промені [A ₁ X ) виберемо послідовно точки A ₂ ,...,A_{n +1} , а на промені [B ₁ Y ) - точки B ₂ ,...,B_{n +1} так, що площа прямокутника A_i A_{i +1} B_{i +1} B_i дорівнює площі трикутника T_i при i < n . З лем 2 і 4 треба, що T_i і A_i A_{i +1} B_{i +1} B_i рівноскладені. Виходить, M і A ₁ A_{n +1} B_{n +1} B ₁ рівноскладені. Лема доведена.

Теорема 1.[ Бойяи-Гервин] Багатокутники M і N равноскладені тоді й тільки тоді, коли вони рівновеликі.

Доведення. Равноскладені багатокутники - мають рівні площі. Доведемо зворотне твердження.

Нехай S_M = S_N . По лемі 5 для M і N найдуться такі прямокутники ABCD і A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ , що M і ABCD , а також N і A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ рівноскладені. З рівностей S_ABCD = S_M = S_N = S_{A 1B 1C 1D 1} і леми 4 витікає рівноскладеність ABCD і A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ . Тепер рівноскладеність M і N витікає з леми 1. Теорема доведена.

Близьким до поняття рівноскладеності є рівнодоповнюємість багатокутників.

Наприклад, паралелограм ABCD і прямокутник EFGH на рис.1.6 - рівнодоповнюємі.