Курсовая работа: Рівносильні та рівновеликі багатокутники

На підставі вищевикладених аксіом і теорем, доведемо теореми про площі елементарних багатокутників методом рівновеликих і рівноскладених елементів багатокутників.

а) Площа паралелограма

Теорема. Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.

Рис.2.3 Дано: ABCD-Паралелограм, AD-підстава, BH-Висота

Довести:

SABCD=AD x BH

Доведення

1. Перекроїмо паралелограм у прямокутник. Для цього розріжемо його по висоті BH , і трикутник ABH прикладемо праворуч як показано на рис.2.3. Одержимо прямокутник HBCH₁ , рівноскладений з паралелограмом ABCD. Але рівноскладені фігури є рівновеликими, тобто SHBCH₁ =SABCD .

2. SHBCH₁ =BC x BH. Але BC=AD по властивості паралелограма.

Тоді SABCD=AD x BH. Теорема доведена.

б) Площа трикутника

Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висоту.

Рис.2.4. Дано: ABC-Трикутник, AC- основа, BH- висота.

Довести:

SABC = ? AC x BH

Доведення

Перекроїмо трикутник у паралелограм. Для цього проведемо середню лінію MN і розріжемо трикутник ABC на дві частини. Трикутник MNC прикладемо до відрізка BM як показано на рис.2.4. Одержимо паралелограм ABDN, рівноскладений із трикутника ABC, а отже й рівновеликий. Тоді SABDN=SABC

SABDH=AN x BH. Але AH=1/2 AC, тому що N-Середина AC.

Отже SABC=1/2 AC x BH. Теорема доведена.

в) Площа трапеції

Теорема. Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

Рис.2.5 Дано: ABCD-Трапеція, AD і BC- основи, BH-Висота

Довести:

SABCD=1/2 (AD + BC) x BH

Доведення

Перекроїмо трапецію в трикутник. Для цього розріжемо її по відрізку BM, де M- середина сторони CD.Трикутник BCM прикладемо до відрізка MD як показано на рис.2.5. Одержимо трикутник ABN рівноскладений із трапецією ABCD, а отже й рівновеликий , тобто SABN=SABCD