Курсовая работа: Рівносильні та рівновеликі багатокутники

РОЗДІЛ ІІ. Розрахунок площ випуклих багатокутників методами рівновеликості при геометричних побудуваннях

2.1 Розрахунок площ основних багатокутників (прямокутник, паралелограм, трикутник, трапеція) методом побудови рівновелик их геометричних фігур

Матеріал заснований на наступних аксіомах і теоремах [4]:

1. Про паралельні прямі

2. Про пересічу пряму для паралельних прямих і утворених нею кутах

3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції

4. Про площу прямокутника

1). Про паралельні прямі

Теорема. Мінімальна відстань між двома паралельними прямими на площині є величина постійна й визначається перпендикуляром, опущеним з будь-якої точки однієї прямої на іншу.

Доведення.

Рис. 2.1

Розглянемо дві прямі а й b, кожна з яких перпендикулярна до прямої с (рис.2.1). Якби прямі а й b перетиналися, то із точки їхнього перетинання були б побудовані два перпендикуляри до прямої с, що неможливо. Отже, прямі а й b не перетинаються, тобто паралельні. Отже, дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.

Сформульоване твердження виражає ознака (перпендикулярність двох прямих до третьої прямої), по якому можна зробити висновок про паралельність двох прямих, або, коротко говорячи, ознака паралельності двох прямих.

2. Про січну паралельних прямих і утворених нею кутах

Нехай a і b - дві паралельні прямі й c - третя пряма, що перетинає прямі a і b (рис.2. 2). Пряма c стосовно паралельних прямих a і b називається січною.

Січна утворить із паралельними прямими дві пари внутрішніх одностронних і дві пари внутрішніх навхрест лежачих кутів.

Рис.2.2

Нехай відповідні кути 1 і 2 рівні: l = 2. Тому що 2 = 3 (як вертикальні кути), те l = 3, тобто рівні навхрест лежачі кути. Отже, а║ b.

Нехай сума однобічних кутів 1 і 2 дорівнює 180°. Тому що сума суміжних кутів 3 і 2 також дорівнює 180°, то l = 3, тобто рівні навхрест лежачі кути. Отже, а ║ b

3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції

Приведемо означення прямокутника , трикутника , паралелограма й трапеції.

Означення. Параллелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні й паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Означення. Прямокутник - це параллелограм, у якого всі кути прямі.

Означення .Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основагиями трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.

Означення. Трикутником називається фігура . яка складається із трьох крапок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків , попарно з'єднуючі ці точки. Точки називаються вершинами трикутника , а відрізки - сторонами.

4. Про площу прямокутника

Теорема. Площа прямокутника зі сторонами дорівнює