Курсовая работа: Рівносильні та рівновеликі багатокутники

Але AN =AD + DN, а DN = BC.

Звідки AN=AD + BC.

Підставимо в (2.1), одержимо SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доведена.

2.2 Розрахунок площі несиметричного п'ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника

Дано довільний 5-кутник [3].

Рис.2.6 Перебудова п’ятикутника в равновеликий трикутник

Перебудовуємо його в рівновеликий трикутник :

1.Будуємо діагональ AC, з'єднуючи точки A й C усередині багатокутника

2.Продовжуємо по стороніAE пряму F-K

3.Через точку Bбудуємо пряму B-F, що паралельна діагоналі AC.

4.Із точки C в точку F перетинання прямих BF і FK проводимо відрізок CF

5.Оскільки й побудованіміж паралельними прямими й мають загальну основу , то

- їхні висоти однакові й дорівнюють відстані по перпендикуляру між паралельними прямими;

-площі цих трикутників рівні, оскільки розраховуються як половина добутку висоти трикутника на його основу.

6.Через точки С й Eпроводимо другу діагональ п'ятикутника.

7.Через точку D будуємо прямуD-K паралельну другій діагоналі СE

8.Із точки C проводимо відрізок CK у точку K перетинання прямих D-K і F-K.

9.Трикутник CED і побудований трикутник CEK розташовані між паралельними прямими CE й DKмають загальну основу CE – рівновеликі , тобто мають рівну площу.

10.Отриманий трикутник -є рівноскладеним і рівновеликим п'ятикутнику , оскільки:

РОЗДІЛ ІІІ. Розрахунок площ невипуклих багатокутників методами рівновеликості та методами використанням координатних підходів аналітичної геометрії

3.1 Застосування методу рівновеликості для розрахунку площ багатокутників

Кожному багатокутнику можна поставити у відповідність позитивне число S(площа), так щоб виконувалися наступні властивості (аксіоми) [2]:

Іншими словами , площа - це функція, задана на множині багатокутників, що приймає тільки позитивні значення й задовольняє умови I,II,III

Теорема: Доведемо ( виведемо із властивостей I,II,III), що площа прямокутника дорівнює добутку довжин його сторін [4].

Нехай і - довжини сторін прямокутника .

A.Якщо й - цілі числа, розділимо сторони прямокутника відповідно на й рівних частин і розіб'ємо прямокутник на квадратів зі стороною 1 ( рис. 3.1). Площа кожного із квадратів дорівнює 1 у силу аксіоми III , виходить, площа всього прямокутника дорівнює в силу аксіоми II.