або

за умов

(30)

(31)

Отже, потрібно знайти значення змінних, які задовольняють умови (30) і (31), тоді як цільова функція набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Задачу (29)—(2.3) легко звести до канонічної форми, тобто до такого вигляду, коли в системі обмежень (30) всі (і =1,2, ...... n) невід'ємні, а всі обмеження є рівностями.

Якщо якесьвід'ємне, то, помноживши -те обмеження на (—1), дістанемо у правій частині відповідної рівності додатне значення. Коли i-те обмеження має вигляд нерівності , , то останню завжди можна звести до рівності, увівши допоміжну змінну

Аналогічно обмеження виду зводимо до рівності, віднімаючи від лівої частини допоміжну змінну ,тобто І

Приклад 2.1. Записати в канонічній формі таку задачу ЛП:

за умов

Розв'язування. Помножимо другу нерівність на (-1) і введемо відповідно допоміжні змінніідля другого та третього обмеження:

Неважко переконатися, що допоміжні змінні, у цьому разі і , є невід'ємними, причому їх уведення не змінює цільової функції.

Отже, будь-яку задачу ЛП можна записати в такій канонічній формі:

знайти максимум функції (32)

за умов

(33)

(34)

Задачу (32)—(34) можна розв'язувати на мінімум, якщо цільову функцію помножити на (-1), тобто

5. Геометрична інтерпретація стандартної задачі

Геометрична інтерпретація аналітичних задач дає можливість наочно представити їх структуру, що сприяє засвоєнню їхніх основних властивостей та відкриває шляхи виявлення і дослідження інших, більш складних властивостей цих задач. У найпростіших випадках геометричне подання дає змогу знайти розв'язок задачі, однак навіть у тривимірному просторі геометричне розв'язування ускладнюється і створює ряд труднощів у побудові відповідних геометричних фігур, а в просторах вимірності, більшої за три, таке розв'язування і зовсім неможливе.

Можливі різноманітні форми і способи геометричного представлення задач лінійного програмування. Доцільність вибору кожного способу зумовлюється метою, якої хочуть досягти даною геометричною інтерпретацією та особливостями структури самої задачі, в тому числі й формою її представлення.

Для геометричної інтерпретації візьмемо основну задачу лінійного програмування у другій стандартній формі. Для наочності розглянемо найпростіший випадок, коли в системі обмежень (26) і цільовій функції (25) є лише дві змінних,

Розглянемо розв'язування нерівностей.

Лема 3. Множина розв'язків нерівності з двома змінними