Курсовая работа: Статистический анализ выборочных совокупностей

Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что непрерывная случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее числа х:

.

Свойства функции распределения:

1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]: ;

2) F(x) – неубывающая функция, т.е. если ;

3) вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: ;

4) если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то при и при .

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

.

Свойства плотности распределения:

1) плотность распределения – неотрицательная функция: f(x)≥0;

2) несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –∞ до +∞ равен единице: ;

3) вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (х₁ ; х₂ ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому от a до b:

. (1)

Полученный результат геометрически отражает тот факт, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал (х₁ ; х₂ ) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, графиком плотности распределения f(x) и прямыми и .

1.2. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины, распределенной на интервале (х₁ ; х₂ ), характеризует ее среднее значение и определяется по формуле

(2)

ДисперсияD(X) непрерывной случайной величины, распределенной на интервале (х₁ ; х₂ ), характеризует ее рассеяние относительно математического ожидания и определяется по формуле

. (3)

Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат всей числовой оси Ох, то математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам

и .

Среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной непрерывной величины определяется по формуле

. (4)

Начальным моментомпорядка s случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^s :

. (5)

Начальный момент первого порядка случайной величины Х соответствует ее математическому ожиданию.

Центральным моментом порядка s случайной величины Х называют математическое ожидание величины :

. (6)