Курсовая работа: Теорема Силова
1.1 Вспомогательные понятия и утверждения
Непустое множество G с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группой , если выполнено следующие условия:
1) замкнутость – для любого a , b ÎG элемент a * b ÎG ;
2) ассоциативность – для любых a , b , c ÎG справедливо равенство ( a * b ) * c = a * ( b * c ) ;
3) существование нейтрального элемента – для любого a ÎG существует элемент e ÎG такой, чтоa * e = e * a = a ;
4) существование обратного элемента – для любого 
существует элемент a -1 ÎG такой, чтоa * a -1 = a -1 * a = e .
Подмножество H группы G называется подгруппой , если относительно операции определенной во всей группы подмножество само является группой.
Предложение 1.1.1. Если подмножество H элементов группы G содержит вместе с двумя элементами a , b их произведение ab и вместе с каждым элементом a его обратный a -1 , то H есть подгруппа G .
Доказательство. Надо лишь показать, что H обладает единицей, но единица G равна aa -1 при a Î H и, следовательно, принадлежит H согласно условиям предложения. ■
Группа < G , * > называется циклической , если она состоит из всех целых степеней одного элемента a ÎG , то есть G = {an |n Îℤ} и обозначается G =< a > – циклическая группа, порожденная элементом a .
Теорема 1.1.2. Всякая подгруппа циклической группы сама является циклической группой.
Доказательство. Действительно, если подгруппа H группы G =< g > содержит только нулевую степень элемента g , то в H имеется только один элемент – единица e группы G (поскольку g 0 = e ). В этом случае, очевидно, H =< e >.
Если же в подгруппе H содержится какая-нибудь ненулевая степень элемента g , то в ней содержится и некоторая положительная степень g , так как вместе со всяким элементом gk в подгруппу H входит и обратный ему элемент g – k . Пусть n – наименьшая из положительных степеней элемента g , содержащихся в H , и h = gn . Покажем, что H =< h > , то есть, что H исчерпывается различными степенями элемента h :
…, h -2 , h -1 , h 0 = e , h 1 , h 2 ,….
Допустим противное, получим, что в H содержится элемент gs и s не делиться на n . Но тогда s можно представить в виде nq + r , где 0< r < n , откуда gs =( gn ) q gr = hq gr . Значит, и элемент h – q ( hq gr )= g r содержится в H , а это противоречит тому, что n – наименьшая из положительных степеней элемента g , содержащихся в H . ■
Из этого рассуждения следует, в частности, что любая подгруппа аддитивной группы ℤцелых чисел является либо единичной подгруппой H = {0 }, состоящей из единственного элемента 0 , либо подгруппой Hn , состоящей из чисел, кратных некоторому целому числу n ≥1 :
…,-2 n , - n , 0, n , 2 n , ….
Напомним, что две группы G и G ' с операциями * и · называется изоморфными , и обозначаются G @ G ' , если существует отображение f : G ® G ' такое, что:
1. f ( a * b )= f ( a ) · f ( b ) для любых a , b Î G – отображение f сохраняет выполнимость операций в G и G ' , то есть отображение f –гомоморфно.
2. f – взаимнооднозначно.
Теорема 1.1.3. 1) Любая бесконечно циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел ℤ.
2) Любая конечно циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю n .
Доказательство. 1) Определим отображение φ : G → ℤ, где φ( an )= n , тогда:
a) Так как все целочисленные степени элемента a различны, то отображение φ (an )= n является биективным или взаимнооднозначным.
b) Сохраняются операции во множествах: φ (an ak ) = n + k = φ (an )+ φ (ak ).
Таким образом, 1) доказано.
2) G = {e , a 1 ,…, an –1 } – циклическая группа. Определим отображение φ таким образом: G → ℤn , где φ (ak )= 
для любого ak из группы G , где k принимает значения от 0 до n - 1.
a) Тогда двум равным элементам из группы G соответствуют два равных элемента из ℤn : из того, что am = ak Ûam - k = e Ûm - k : n , по определению, m = k (mod n ) Û
b) Сохраняется выполнимость операций в группах: 
(ak am )= (ak + m )= =
=
= φ (am )+ φ (ak ). ■