Курсовая работа: Теорема Силова
Если левостороннее разложение группы G по подгруппе H совпадает с правосторонним, то H называют нормальной подгруппой группы G (нормальный делитель, инвариантная подгруппа ) и обозначается 
. Для любого элемента g ÎG будет выполняться равенство
Hg = gH , (1)
то есть подгруппа H будет перестановочна с каждым элементом группы G .
Пусть H – нормальная подгруппа G . Определим умножение смежных классов формулой:
aH·bH = abH (2)
Ясно, что условие (1) равносильно условию g –1 Hg = H .
Говорят, что элемент, а сопряжен с элементом b посредствам элемента g , если 
. Часто используют степенные обозначения 
.
Теорема 1.3.1. Множество всех смежных классов группы G по нормальной подгруппе H относительно умножения (2) является группой, которая называется факторгруппой группы G по H и обозначается G / H .
Доказательство. 1) Ассоциативность умножения классов вытекает из ассоциативности умножение элементов группы. Пусть g 1 , g 2 , g 3 ÎG , тогда
(g 1 H × g 2 H )·g 3 H = (g 1 g 2 )H ·g 3 H =g 1 g 2 g 3 H =g 1 (g 2 g 3 )H = = g 1 H (g 2 g 3 )H = g 1 H ·(g 2 H ·g 3 H ).
2)Единицей в G / H будет смежный класс eH = H , так как HaH = eH ·aH = eaH = aH . Аналогично aH ·H = aH .
3)(aH )– 1 =a– 1 H , таккакaH ·a– 1 H= (aa– 1 )H=eH=H . ■
Покажем, что отношение сопряжения на множестве является отношениями эквивалентности . Очевидно, что всякий элемент a сопряжен с самим собой, так как a = e – 1 ae .
Кроме того, если элемент G сопряжен с элементом a , то есть b = g – 1 ag , тоa = gbg – 1 . Следовательно, отношение сопряженности симметрично. Наконец, если b = g 1 – 1 ag 1 , c = g 2 – 1 bg 2 , то c = (g 1 g 2 )– 1 a (g 1 g 2 ), то есть отношение сопряженности элементов транзитивно. Отсюда следует, что всякая группа G распадается на непересекающиеся множества сопряженных между собой элементов или, как говорят, на классы сопряженных элементов . ■
1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы
п.1 . В отличие от смежных классов. Классы сопряженных элементов не все равномощны. При вычисление их мощностей решающую роль играет понятие нормализатора.
Пусть M – подмножество, H –подгруппа группы G . Нормализатором множества M в подгруппе H называется множество:
NH (M )= 
,
которое, как легко проверить, является подгруппой в H . Если не указано, в какой подгруппе H берется нормализатор, то это означает, что он берется во всей группе G . Очевидно, подгруппа тогда и только тогда нормальна в группе, когда её нормализатор совпадает со всей группой .
Теорема 1.4.1. Если M – подмножество, H – подгруппа группы G , то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H , равна индексу 
В частности,
.
Доказательство. Отобразим множества Mx , x Î H , на правые смежные классы группы H по подгруппе N = NH (M ), полагая
(Mx )φ = Nx для x ÎH .
Отображение φ однозначно, так как из Mx = My следует Nx = Ny . Отображение φ переводит разные элементы в разные , так как из Nx = Ny следует Mx = My . Наконец, φ – отображение на, так как каждое Nx имеет прообраз Mx . ■
Пусть M – подмножество, H – подгруппа группы G . Мы назвали нормализатором M в H совокупность тех элементов из H , которые перестановочны с множеством M в целом. Можно рассмотреть также множество тех элементов из H , которые перестановочны с M поэлементно, то есть
CH (M )= 
.
Это множество называется централизатором множества M в подгруппе H . Если M состоит из одного элемента, то, конечно, его нормализатор и централизатор в H совпадают. Если не указано, в какой подгруппе H берется централизатор, то это означает, что он берется во всей группе G .
Централизатор всей группы G называется её центром и обозначается Z (G ),
Z (G )= 
.
Очевидно, что группа тогда и только тогда абелева, если она совпадает со своим центром. Ясно, что единица е всегда лежит в центре. Если других центральных элементов группа не содержит, то она называется группа с тривиальным центром. Заметим ещё, что любая подгруппа центра нормальна в группе .