Доказательство .Пусть A и B – подгруппы группы < G ,*>. Докажем, что H = AB – подгруппа.

1) Замкнутость H относительно умножения.

a , b Î H Þ

2)

3) a Î H = A ■

Если M – произвольная часть группы G , то пересечение (M ) всех подгрупп, содержащих M , называющиеся подгруппой, порожденной множеством M , а само M – порождающим множеством подгруппы (M ). Иногда говорят, что элементы множества M являются порождающими элементами подгруппы (M ). Группа, обладающая конечным порождающим множеством, называется конечно порожденной . ■

Теорема 1.1.5. Если M – подмножество группы G , то

(M ) = .

Доказательство.

Обозначим правую часть через H , так как подгруппа (M ) содержит все a_i из M , то (M )Ê H . С другой стороны, HH Í H , H ^-1 Í H , поэтому H – подгруппа, содержащая M . Отсюда H Ê (M ) и окончательно H = ( M ). ■

Если каждое соотношение в группе G относительно порождающего множества M является следствием из некоторого множества соотношений Ф , то Ф – называют определяющим множеством соотношений группы G относительно порождающего множества M . Группы, имеющие конечное число определяющих соотношений, называются, конечноопределенными . Именно такие группы часто возникают в приложениях теории групп к геометрии и топологии. Иногда определяющие соотношения таковы, что элементам группы удается дать некоторую каноническую запись, и умножение элементов в канонической записи не представляет труда. Рассмотрим примеры этого рода.

Пример 1. Группа задана двумя образующими a и b , связанными соотношениями a ² = 1(то естьa = a ^-1 ), b ³ = 1 и aba = b ² . Очевидным следствием из этих соотношений является ab ² a = b . Последние два соотношения можно записать в форме ba = ab ² и b ² a = ab . Эти соотношения позволяют переносить образующий a через b или b ² справа налево, заменяя b на b ² и b ² на b . Это позволяет записать любой элемент группы в форме a^k b^m при k = 0,1и m = 0,1,2. Рассматривая элементы этого вида формально, с правилами умножения, вытекающими из правила переноса a справа налево и условий a ² = 1и b ³ =1, нетрудно проверить, что символы a^k b^m действительно образуют группу. Она конечна, её порядок равен 6. Легко видеть, что она изоморфна симметрической группе S₃ подстановок из трех элементов. Изоморфизм дается соответствием a ®(1,2), b ®(1,2,3).

Пример 2 . Группа задана двумя образующими c , a и соотношениями a ² =1 и aca = c ^-1 . Здесь образующий c свободен, то есть порождает бесконечно циклическую группу. Очевидным следствием из этих соотношений является ac^m a = c ^{– m} при любом целом m . Из соотношения ac^m a = c ^{- m} следует правило переноса образующего a справа налево, именно, c^m a = ac ^{- m} . Это правило позволяет записать любой элемент группы в виде a^k c^m при k = 0,1 и любом целом m . Легко проследить, что символы a^k c^m при умножении с правилами, обусловленными соотношениями a ² = 1и c^m a = ac ^{- m} , действительно образуют группу.

1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа

п.1. Пусть в группе G дана подгруппа H . Если a есть произвольный элемент из G , то произведение aH называется левым смежным классом группы G по подгруппе H , определенным элементом a . Аналогично дается определение правого смежного класса.

Представление группы G в виде объединения левых (правых) смежных классов по подгруппе H называется левосторонним (правосторонним ) разложением группы G по подгруппе H .

G = .

Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.

Предположим, что Æ докажем, тогда что .

Имеем, Æ следовательно, существует , такой что . Тогда, так как существует такой что, следовательно .

Пусть y произвольный элемент группы H . Тогда элементы xy и x ^–1 y ÎH . Поэтому элемент cy = (ax )y = a (xy )Îа H , а элемент ay = (cx ^–1 )y = = c (x ^–1 y )c ÎH , так как каждый элемент из cH содержится в aH и наоборот, то aH = cH . Аналогично так же bH = cH и, следовательно, aH = bH .

Аналогично доказывается условие совпадения правых смежных классов: . ■

Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе содержат одинаковое количество элементов.

В самом деле, докажем, что произвольный смежный класс aH содержит столько же элементов, сколько их в подгруппе H . Имеем:

,

.

Рассмотрим отображение φ: gH →H по правилу φ (gh_i )= h_i для любого h_i ÎH . Заметим что

2)φ – отображение, то есть .

Действительно, .

2)отображение φ взаимно однозначно, что доказывает проведение предыдущих рассуждений в обратном порядке.