Курсовая работа: Теорема Силова
Если группа G состоит из конечного числа элементов, то она называется конечной группой , а число элементов в ней порядком группы .
Теорема 1.2.1. (Лагранжа) Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.
Доказательство. Пусть H – подгруппа конечной группы G и 
– множество всех различных левых смежных классов группы G по подгруппе H . Тогда,
G = 
. (1)
Причем любые два смежных класса, входящие в это объединение, не пересекаются, как было отмечено выше. Поэтому если n – число элементов множества G и m – число элементов множества H , то есть число элементов в каждом левом смежном классе, то в силу (1), получаем 
или 
, где индекс 
– количество смежных классов в разложение (1). Теорема доказана. ■
Следствие 1 . Порядок элемента конечной группы, является делителем порядка группы.
Доказательство. Пусть G – конечная группа, а его элемент порядка m . Тогда циклическая группа, порожденная элементом порядка m , имеет тоже порядок m , то есть 
. Отсюда по теореме 1.2.1. m является делителем порядка всей группы G . ■
Следствие 2 . Пусть G – группа простого порядка, тогда G – циклическая группа (изоморфна ℤp ).
Доказательство. Действительно, группа G совпадает с циклическойподгруппой порожденной любым её отличным от е , элементом.
п.2 . Покажем, что теорему Лагранжа нельзя обратить, то есть не для любого делителя m порядка группы существует подгруппа порядка m . Например, знакопеременная группа A 4 – подстановок четной степени не содержит подгруппы порядка 6. Хотя число 6 делит её порядок равный 12. Докажем это, предварительно сформулируем утверждение.
Произвольная группа порядка 6 либо изоморфна ℤ 6 , либо изоморфна группе S 3 .
Доказательство. Пусть G – отличная от единичной группа,
, тогда по следствию теоремы Лагранжа, все элементы искомой группы могут иметь порядки 1, 2, 3, 6. Рассмотрим три случая.
1) Если элемент порядка 6, тогда данная группа циклическая, изоморфна ℤ6 .
2) Все неединичные элементы имеют порядок 2. Тогда группа G – абелева.
Пусть для любого элемента a ÎG выполняется условие a 2 = e . В этом случае, если b также элемент группы G , то верно равенство:
( ab ) 2 = e , откуда, (ab )( ab )= e и a ( ba ) b = e Умножим полученное равенство слева на a , справа на b , получим ba = ab . Отсюда вытекает, что группа G – абелева.
Пусть a , b элементы группы G . Несложно видеть, что множество элементов 
является подгруппой группы G (достаточно проверить замкнутость и условие существование обратного элемента.) Порядок этой подгруппы равен 4. Этого быть не может по теореме Лагранжа (4 не является делителем 6). Следовательно, этот случай не имеет место.
3) Все неединичные элементы G имеют порядок 2или 3 и есть обязательно элемент порядка 3.
Пусть a 3 = e , тогда a 2 = b , b ÎG и 
обозначим за с – четвертый элемент группы G , отличный от трех предыдущих.
Рассмотрим произведение ec , ac , a 2 c . Покажем, что ac = d , a 2 c = f –новые элементы группы G.
· Если ac = e , тоc = a 2 = b , противоречие с условием 
· Если ac = a , то c = e , противоречие.
· Если ac = a 2 = b , то a 2 a –1 = a –1 ac , или a = c , противоречие.
· Если ac = c , то a = e , противоречие.
Итак, ac = d ÎG .
· Если a 2 c = e , то c = a противоречие.
· Если a 2 c = a , то c = b противоречие.
· Если a 2 c = a 2 , то c = e противоречие.
· Если a 2 c = c , то a 2 = e противоречие с условием a 3 = e .