Курсовая работа: Топологические пространства

Аналогично доказывается

Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О ₁ и О ₂ топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.

Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X ) = Y . Тогда если Х связно, то Y связно.

Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества

Y = O ₁ O ₂ .

В силу того, что f непрерывное отображение и f (X ) = Y , прообразы G ₁ = f ^–1 (O ₁ ) и G ₂ = f ^–1 (O ₂ ) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х , что противоречит его связности. €

1.3. Компактность топологических пространств

Определение 8. Топологическое пространство называется компактным , если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным , если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.

Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.

Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х . В силу компактности пространства Х , из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А . Пусть, например,

.

Очевидно, что множества образуют искомое конечное подпокрытие множества А . €

Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым , если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.

Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.

Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х ) компактно.

Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].

§2. Связность непрерывных отображений

2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства

Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки y ÎY прообраз f ^–1 (U ) называется трубкой (над U ), а прообраз f ^–1 (y ) называется слоем (над точкой y ).

Определение 11. . Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой y ÎY , если существует такая окрестность Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y .

Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Í Oy , т.к., если U = U ₁ U ₂ , где U ₁ , U ₂ – непустые дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y ) множества, то

f ^–1 (U ) = f ^–1 (U ₁ ) f ^–1 (U ₂ ), f ^–1 (U ₁ ) ∩ f ^–1 (U ₂ ) = Æ,

т.е. f ^–1 (U ) несвязно автоматически.

Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой y ÎY , если оно не является несвязным над точкой y , т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Í Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) связна.

Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным , если оно связно над каждой точкой y Î Y .

Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y Î Y . Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) отображение f несвязно над точкой y Î Y;

(2) существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что каждая трубка f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;

(3) существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что каждая трубка f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;

(4) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что в каждой трубке f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;

(5) существует такая окрестность Oy точки y Î Y , что для каждой трубки f ^–1 (U ) над окрестностью U Í Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1 (U ) ® {1, 2}.