Курсовая работа: Топологические пространства

§1. Топологические пространства

(предварительные сведения)

1.1. Непрерывные отображения топологических

пространств

Пусть Х и Y топологические пространства.

Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным , если у всякого множества О , открытого в пространстве Y , полный прообраз f ^–1 (О ) открыт в пространстве Х.

Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f : X → Y справедливо следующее равенство:

(1).

Теорема 1.1. Отображение f : X → Y является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F , замкнутого в Y , полный прообраз f ^{– 1} (F ) замкнут в Х.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X → Y является непрерывным, т.е. для любого множества О , открытого в Y , прообраз f ^–1 (O ) открыт в Х , и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y , и множество открыто в Х , в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f ^–1 (F ) замкнуто в Х .

Достаточность. Пусть для любого множества F , замкнутого в Y , полный прообраз f ^{– 1} (F ) замкнут в Х . Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y . Поэтому замкнутое в Х множество. Следовательно, множество открыто в Х . Таким образом, для любого множества О , открытого в Y , полный прообраз открыт в Х и отображение f : X → Y непрерывное по определению. €

1.2. Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным , если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:

Х = О ₁ О ₂ .

Определение 5. Пространство Х называется связным , если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О ₁ и О ₂ , не имеющих общих точек, то О ₁ = CO ₂ и O ₂ = CO ₁ . Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным , если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным , если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:

(1) существуют непустые открытые множества О ₁ и О ₂ , для которых О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = Х ;

(2) существуют непустые замкнутые множества F ₁ и F ₂ , для которых F ₁ ∩ F ₂ = Æ и F ₁ F ₂ = Х ;

(3) в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;

(4) существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О ₁ и О ₂ непустые открытые множества, для которых О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = Х . Рассмотрим множества F ₁ = СО ₁ и F ₂ = СО ₂ . Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F ₁ ∩ F ₂ = Æ и F ₁ F ₂ = Х.

Из (2) следует (3). Пусть F ₁ и F ₂ непустые замкнутые множества, для которых F ₁ ∩ F ₂ = Æ и F ₁ F ₂ = Х . Рассмотрим множество G = F ₁ Ì Х . Множество F ₁ замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F ₂ (F ₁ = CF ₂ ). Поэтому множество G = F ₁ является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х .

Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х . Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х .

Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой

φ (х ) =

Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q , открытым в Х .

Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ (Х ) = М . Множества A = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:

Х = φ ^–1 (М ) = φ ^–1 (А В ) = φ ^–1 (А ) φ ^–1 (В ),

причём φ ^–1 (А ) и φ ^–1 (В ) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О ₁ = φ ^–1 (А ) и О ₂ = φ ^–1 (В ) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О ₁ О ₂ . €

Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F ₁ и F ₂ и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F ₁ F ₂ . Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F ₁ , либо в F ₂ .

Доказательство. Пусть F ₁ и F ₂ дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F ₁ F ₂ . Тогда

М = (М ∩ F ₁ ) (M ∩ F ₂ ).

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--