Курсовая работа: Топологические пространства

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y , то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y . 

Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.

Предложение 2.4. Пусть отображение f : X→ Y замкнуто над точкой y Î Y и слой f ^–1 (y ) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Î Y .

Доказательство. Поскольку слой f ^–1 (y ) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f ^–1 (y ) множества О ₁ и О ₂ , что О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = f ^–1 (y ). Тогда в Х существуют открытые множества Q ₁ и Q ₂ такие, что

O ₁ = Q ₁ f ^–1 (y ), O ₂ = Q ₂ f ^–1 (y ).

Рассмотрим замыкание этих множеств и в Х . Их пересечение есть замкнутое множество, и F f ^–1 (y ) = Æ (т.к. О ₁ и О ₂ замкнутые в f ^–1 (y ), как дополнения до открытых). Множество О = (Q ₁ Q ₂ ) \ F открыто в Х , причём f ^–1 (y ) Ì О . Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f ) найдётся такая окрестность Oy точки y , что f ^–1 (Oy ) Ì О . Пусть G ₁ = f ^–1 (Oy ) Q ₁ и G ₂ = f ^–1 (Oy ) Q ₂ – открытые в f ^–1 (Oy ) множества. Так как

Ì Х \ f ^–1 (Oy ),

то G ₁ ∩ G ₂ = Æ. Тогда f ^–1 (Oy ) = G ₁ G ₂ . Следовательно, трубка f ^–1 (Oy ) несвязна.

Пусть U Í Oy – произвольная окрестность точки y . Тогда и – дизъюнктные множества, открытые в f ^–1 (U ), и непустые, т.к. О ₁ Ì и О ₂ Ì . Следовательно, для любой окрестности U Í Oy трубка f ^–1 (U ) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y , отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y Î Y. 

Из установленного предложения автоматически вытекает

Следствие 2.2. Пусть отображение f : X→ Y замкнуто над точкой y Î Y и связно над точкой y. Тогда слой f ^–1 (y ) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.

Предложение 2.5. Пусть отображение f : X→ Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y . Тогда существует такая окрестность Oy точки y , что трубка f ^–1 (U ) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y . Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U , для которой выполняются следующие условия:

f ^–1 (U ) = О ₁ О ₂ , О ₁ ∩ О ₂ = Æ,

где О ₁ и О ₂ – непустые открытые в f ^–1 (U ) множества.

Слой f ^–1 (y ) связен и f ^–1 (y ) Ì f ^–1 (U ), отсюда, f ^–1 (y ) содержится либо в О ₁ , либо в О ₂ (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х ₁ ÎО ₁ . Образ этой точки f (x ₁ ) = y ₁ Ì U . По условию, слой f ^–1 (y ₁ ) связен и f ^–1 (y ₁ ) Ì О ₁ О ₂ = f ^–1 (U ). Поскольку О ₁ ∩ О ₂ = Æ и х ₁ ÎО ₁ , следовательно (по теореме 1.4), f ^–1 (y ₁ ) Ì О ₁ . (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О ₁ , то и весь слой принадлежит этому множеству.)

Отсюда, так как точка х ₁ произвольная, то О ₁ = f ^–1 ( f (O ₁ )). Аналогично доказывается, что О ₂ = f ^–1 (f (O ₂ )).

Отображение f замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f : f ^–1 (Oy ) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O ₁ ) = g (O ₁ ) и f (O ₂ ) = g (O ₂ ) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O ₁ ) f (O ₂ ), т.е. окрестность U несвязна. Это противоречит выбору окрестности U . 

Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:

Теорема 2.3. Замкнутое отображение f : X→ Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.

(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).

Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:

Следствие 2.3. Пусть отображение f : X→ Y замкнутое, Z Í X замкнуто в Х. Подотображение g = f | _Z : Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Следствие 2.4. Пусть отображение f : X→ Y замкнутое, T Í Y произвольное множество. Подотображение g = f | : f ^–1 (T ) ® T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.

2.3. Связь между связностью пространств

и отображений

Пусть пространство Y = {*} – одноточечное. В этом случае отображение f : X→ Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х .

Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.

Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] ® R , для которого f (х ) = 0 при любом х Î [-1;1]. Отображение f связно тогда и только тогда, когда слой f ^–1 (y ) над точкой y = 0 связен. Но f ^–1 (0) = [-1;1] – связное множество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают, поэтому отображение f является связным и послойно связным.

Если отображение f : [-1;1] [2;3] ® R задано условием f (х ) = 0 для любого х Î [-1;1] [2;3], то оно несвязно (послойно несвязно) над точкой y = 0 в силу несвязности трубки (слоя) f ^–1 (0) = [-1;1] [2;3].

В рассмотренных примерах пространство Y является связным. Это условие и условие связности отображения f оказались необходимым и достаточным условием для связности пространства Х . Более того, имеет место

Теорема 2.4. Пусть сюръективное отображение f : X→ Y непрерывно и связно. Пространство X является связным тогда и только тогда, когда пространство Y связное.

Доказательство. Необходимость. По теореме 1.5 (§1), если f : Х→Y непрерывное отображение, f (X ) = Y и Х связно, то Y связно.