Курсовая работа: Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании
Во втором разделе представлены методы решения простейших уравнений и неравенств с модулями, решение которых не требует использование трудоемкого процесса раскрытия модулей.
В третьем разделе представлено графическое решение уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем в некоторых случаях гораздо более простое, чем аналитическое. В этом разделе рассмотрены построение графиков функций ,
и
. Много внимания уделено построению графиков функций, представляющих собой сумму линейных выражений под знаком абсолютной величины. Так же приведены примеры построения графиков функций с ``вложенными'' модулями. Приведены теоремы об экстремумах функций, содержащих сумму линейных выражений под знаками абсолютных величин, позволяющие эффективно решать задачи как на нахождение экстремумов подобных функции, так и решать задачи с параметрами.
В четвертом разделе представлены дополнительные методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. В первую очередь описан трудоемкий и не всегда рациональный, а в некоторых случаях и неприменимый метод раскрытия модулей, иногда называемый метод интервалов, с помощью которого можно решить любое уравнение и неревенство с модулем. Описан метод использования тождества ; рассмотрены метод геометрической интерпретации, использование тождества
, применение теоремы о знаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения на положительный множитель.
В пятом разделе приведены примеры решения типовых тестовых задач связанных с понятием абсолютная величина. Приведены решения как ``стандартных'' задач, в решении которых необходимо получить какую-либо комбинацию решений, так и заданий с параметрами. Для некоторых задач приведено несколько способов решения, иногда указаны типичные ошибки возникающие в процессе решения. Для всех заданий приведено наиболее эффективное, по быстроте, решение.
Абсолютная величина и её свойства
Модуль. Свойства модуля
Определение. Модуль числа или абсолютная величина числа
равна
, если
больше или равно нулю и равна
, если
меньше нуля:
Из определения следует, что для любого действительного числа ,
.
Теорема Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел
или
.
1. Если число положительно, то
отрицательно, т. е.
. Отсюда следует, что
.
В этом случае , т. е.
совпадает с большим из двух чисел
и
.
2. Если отрицательно, тогда
положительно и
, т. е. большим числом является
. По определению, в этом случае,
--- снова, равно большему из двух чисел
и
.
Следствие Из теоремы следует, что .
В самом деле, как , так и
равны большему из чисел
и
, а значит, равны между собой.
Следствие Для любого действительного числа справедливы неравенства
,
.
Умножая второе равенство на
(при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства:
,
справедливые для любого действительного числа
. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:
.
Теорема Абсолютная величина любого действительного числа равна арифметическому квадратному корню из
:
.
В самом деле, если , то, по определению модуля числа, будем иметь
. С другой стороны, при
,
, значит
.
Если , тогда
и
и в этом случае
.
Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять на
.
Геометрически означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число
, до начала отсчета.
Если , то на координатной прямой существует две точки
и
, равноудаленной от нуля, модули которых равны.
Если , то на координатной прямой
изображается точкой
.
Свойства модуля
Из этого свойства следует, что ;
.