Если эта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у , если она сократима, то после сокращения знаменатель уменьшится.

Итак, все члены последовательности --- рациональные числа, заключенные между 0 и 1, т. е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины , --- конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.

Простейшие уравнения и неравенства с модулем

К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:

Примеры решения простейших уравнений.

Пример Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Остановимся подробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей (формулы --).

Теорема Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример Решить уравнение

Решение. Так как , то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Ответ. .

Теорема Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.

Пример Решить уравнение

Решение. ``Загоняем'' коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и ``изолируем'' сумму модулей: