Курсовая работа: Викладення теми Трикутники по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи
Рис.3.2 До доведення теореми 3.1 [8]
Трикутник дорівнює трикутнику
по першій ознаці рівності трикутників. Дійсно,
З рівності трикутника треба, що
.
Теорема доведена.
Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім.
Теорема 3.2 (ознака рівнобедреного трикутника).
Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.
Доведення. Нехай - трикутник, у якому
(рисунок 3.3).
Рис. 3.3 До доведення теореми 3.2 [8]
Доведемо, що він рівнобедрений з основою .
Трикутник дорівнює трикутнику
по другій ознаці рівності трикутників. Дійсно,
З рівності трикутників треба, що
. Виходить, по визначенню трикутник
рівнобедрений.
Теорема доведена.
Теорема (3.2) називається зворотньою теоремі (3.1). Висновок теореми (3.1) є умовою теореми (3.2). А умова теореми (3.1) є висновком теореми (3.2). Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, те зворотна теорема може бути невірна.
Теорема 3.3 (властивість медіани рівнобедреного трикутника).
У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою й висотою.
Доведення. Нехай - даний рівнобедрений трикутник з основою
й
- медіана, проведена до основи (рисунок 3.4)
Рис.3.4 До доведення теореми 3.3 [8]
Трикутники й
рівні по першій ознаці рівності трикутників. (У них сторони
й
рівні, тому що трикутник
рівнобедрений. Кути Ð
й Ð
рівні як кути при підставі рівнобедреного трикутника. Сторони
й
рівні, тому що
- середина відрізка
)
З рівності трикутників витікає рівність кутів: . Тому що кути Ð
й Ð
суміжні й рівні, те
- бісектриса. Тому що кути Ð
й Ð
суміжні й рівні, то вони прямі, тому
висота трикутника.
Теорема доведена.
Задача 3.1 Доведіть, що в рівностороннього трикутника всі кути рівні.
Рішення. Нехай - даний трикутник з рівними сторонами:
(рисунок 3.5).
Рис.3.5 До задачі 3.1 [8]
Тому що , то цей трикутник рівнобедрений з основою
. По теоремі 3.1
. Тому що
, то трикутник
рівнобедрений з основою
. По теоремі 3.1
. Таким чином,
, тобто всі кути трикутника рівні.
Задача 3.2 Сформулюйте й доведіть теорему, зворотну твердженню задачі 3.1
Розв’язок. У задачі 3.1 умова полягає в тому, що трикутник рівносторонній, а висновок - у тім, що всі кути трикутника рівні. Тому зворотна теорема повинна формулюватися так: якщо в трикутника всі кути рівні, то він рівносторонній.
Доведемо цю теорему. Нехай - трикутник з рівними кутами:
. Тому що
, то по теоремі 3.2
. Тому що
, те по теоремі 3.2
. Таким чином
, тобто всі сторони трикутника рівні. Виходить, по визначенню трикутник
рівносторонній. Задача 3.3 Доведіть, що бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена з вершини, протилежній основі, є медіаною й висотою. Розв’язок. Нехай
- рівнобедрений трикутник з основою
і
його бісектрисою (рисунок 3.6).