Курсовая работа: Викладення теми Трикутники по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи

Рис. 3.6. До задачі 3.3 [8]

Трикутники й рівні по першій ознаці. У них сторона загальна, сторони й рівні як бічні сторони рівнобедреного трикутника, а кути при вершині рівні, тому що - бісектриса. З рівності трикутників витікає рівність їхніх сторін і . Виходить, - медіана трикутника . А по властивості медіани рівнобедреного трикутника вона є й висотою.

4. Висота, бісектриса і медіана трикутника

Визначення. Висотою трикутника, опущеної з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. (рисунок 4.1)

Рис.4.1 До визначення висоти трикутника (можливі випадки побудови висоти трикутника) [5]

Визначення. Бісектрисою трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, яка поділяє кут при вершині на два рівні кути та з'єднує цю вершину із крапкою на протилежній стороні (рисунок 4.2).

Визначення. Медіаною трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину із серединою протилежної сторони трикутника (рисунок 4.2).

Рис.4.2 До визначення бісектриси та медіани трикутника [5]

5. Сума кутів трикутника

Теорема 5.1. Сума кутів трикутника дорівнює .

Рис.5.1. Визначення суми кутів трикутника [5]

Доведення.

Нехай - даний трикутник. Проведемо через вершину пряму, паралельну прямій . Відзначимо на ній точку так, щоб точки й лежали по різні сторони від прямій (рисунок 5.2).

Рис. 5.2. До доведення теореми 5.1 [8]

Кути Ð й Ð рівні як внутрішні навхрест лежачі, утворені січною з паралельними прямими й . Тому сума кутів трикутника при вершинах і дорівнює куту Ð.

А сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює сумі кутів і . Тому що ці кути внутрішні однобічні для паралельних і й січній , то їхня сума дорівнює .

Теорема доведена.

З теореми 5.1 витікає, що в будь-якого трикутнику хоча б два кути гострі.

Дійсно, допустимо, що в трикутника тільки один гострий кут або взагалі немає гострих кутів. Тоді в цього трикутника є два кути, кожний з яких не менше . Сума цих двох кутів уже не менше . А це неможливо, тому що сума всіх кутів трикутника дорівнює . Що й було потрібно довести.

6. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Трикутник називається прямокутним, якщо в нього є прямий кут.

Тому що сума кутів трикутника дорівнює , то в прямокутного трикутника тільки один прямий кут.д.ва інших кути прямокутного трикутника гострі. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює .

Сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони називаються катетами (рисунок 6.1).

Рис.6.1. До визначення прямокутного трикутника [5]

Відзначимо наступну ознаку рівності прямокутних трикутників по гіпотенузі й катету. Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету іншого трикутника, то такі трикутники рівні (див. рисунок 6.2).