Курсовая работа: Використання інтегралів в економіці

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається

Математично це означення можна записати так:

(3)

Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записати у вигляді

(4)

тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему [1].

Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].

1.3 Основні властивості визначеного інтеграла

Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.

Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А — стала, то

Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто

Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто

Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто

для будь-якої функції f (х).

Якщо f (х) (х), х [а, b], то

Якщо m та M — найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a,b], то

де

1.4 Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами

Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.

Щоб мати звичне позначення, змінну верхню межу позначимо через х, а змінну інтегрування — t.

Одержимо інтеграл який є функцієюх, тобто Ф(х) =